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A 4 B 4 : i tre centri A 4 B 4 C 4 stanno in una retta h e i tre piani Ài A 2 A 3 , Bi B 2 B 3 , 

 Ci C 2 C 3 s'incontrano in una retta ti ('). Due dei tre tetraedri Ai A 2 A 3 A 4 , BiB»B 3 B 4 , 

 C1C2C3C4 sono perciò omologici per ciascun vertice e piano opposto del terzo come 

 centro e piano di omologia. I loro vertici sono tre a tre situati in 16 rette h, e le 

 loro faccie s' incontrano tre a tre in 16 rette ti. 



Teorema VI. Se uno dei tetraedri AiA 2 A 3 A 4 , BiB 2 B 3 B 4 ; Ci C 2 C 3 C 4 si pi- 

 glia come tetraedro di riferimento , i vertici dei due altri tetraedri hanno rispetto 

 ad esso le medesime coordinate; i vertici di un tetraedro hanno le medesime coordi- 

 nate con due segni cambiati. 



Proiettando dagli spigoli del tetraedro (A) = AiA 2 A 3 A 4 il punto B x sugli 

 spigoli opposti, ottengo 6 punti P i7i , tali che P i2 per es. è situato in AiA 2 . Di que- 

 sti 6 punti trovando i coniugati armonici rispetto ai vertici del tetraedro (A) si 

 ottengono altri 6 punti ?' ik , che sono situati in un piano, che contiene gli altri 

 tre punti B 2 B 3 B 4 , e che chiamo piano polare del punto Bi rispetto al tetraedro. 



Teorema VII. Le faccie di uno dei tre tetraedri, sono i piani polari dei vertici 

 rispetto agli altri due. 



Chiamo una tale terna, terna di tetraedri fasciali, due tetraedri che formano 

 con un terzo una tale terna li chiamo complementari. 



Teorema Vili. I 18 spigoli dei tre tetraedri (A) (B) (C) s'incontrano tre a 

 tre nei 12 punti F« e P' i7i: . Questi sono situati 3 a 3 in 12 piani n ik rì ik , che formano 

 la figura correlativa diP« P !7 „ passano due a due per ognuno dei 18 spigoli, formando 

 un gruppo armonico con le due faccie, che s' incontrano in quello spigolo. Per cia- 

 scun punto P i7i 0 P' ik passano 4 rette ti, mentre nei piani n ik 0 ci sono 4 rette h 

 e 3 spigoli appartenenti ad (A) (B) (C). I piani Tz ik n' ik sono quelli che proiettano 

 per es. dagli spigoli del tetraedro (A) i vertici degli altri due (B) e (C) ( 2 ). 



Per ogni punto dello spazio otteniamo rispetto ad un tetraedro fondamentale (A) 

 un tetraedro fasciale, analogamente per un piano ; se il piano è quello all' infinito, 

 il tetraedro che gli corrisponde si può chiamare centrale. Gli spigoli di tutti questi 

 tetraedri si appoggiano sugli spigoli opposti del tetraedro fondamentale. I vertici 

 di un tetraedro fasciale col dato, sono due a due coniugati rispetto alle tre involuzioni 

 di 2 a specie determinate dalle coppie di spigoli opposti del tetraedro fondamentale. 

 I vertici invece dei tetraedri (B) e (C), sono due a due coniugati nelle 4 involuzioni 

 di l a specie determinate, dai vertici e dalle faccie opposte del tetraedro fondamentale. 

 Se un punto si muove sopra una retta il piano polare , inviluppa una sviluppabile di 

 3 a classe, che tocca le faccie del tetraedro fondamentale; ad un piano corrisponde una 

 superficie di 3 a classe e 4° ordine. Se il punto si muove in una retta, passante per 

 uno dei vertici, del tetraedro (A) il piano polare si muove pure, intorno ad una retta 

 passante per il medesimo vertice. Se il punto si muove in una retta, che si appoggia 

 a due spigoli opposti, il piano si muove intorno ad una retta, che si appoggia pure ai due 

 spigoli opposti. Queste due rette e i vertici sugli spigoli formano un gruppo armo- 

 nico. Se il punto si muove in uno spigolo, del tetraedro fondamentale, il piano polare 



(!) Vedi Teorema IV. Hexag. mysticum. 

 (2) Vedi Teor. XXI della I a Nota. 



