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rimane indeterminato, se il punto si muove in una retta, che incontra uno spigolo, 

 allora il piano polare inviluppa un cono, avente il centro sullo spigolo opposto. Ana- 

 logamente considerando un piano. 



Teorema IX. Se nella retta h, per es. A 4 B 4 C 4 , di ciascuno dei 3 vertici si deter- 

 mina il 4° armonico rispetto agli altri due, si ottengono i tre ptìnti A' 4 B' 4 C 4 d' in- 

 contro con le faccie opposte ad A 4 B 4 C 4 nei tetraedri (A) (B) (C). In ogni retta h, 

 ci sono due punti immaginari E, che sono i punti doppi dell' involuzione A 4 B 4 C 4 , 

 A' 4 B' 4 C 4 . Analogamente se dei tre piani dei tre tetraedri, che s'incontrano in una 

 retta K si determinano i piani coniugati armonici rispetto agli altri due, si ottengono 

 tre coppie di piani in involuzione, i cui piani immaginari doppi passano per i punti E 

 situati sulla retta h, che congiunge i tre vertici opposti a quei tre piani nei tre 

 tetraedri. Le 16 rette h ed ti si corrispondono così due a due. 



Teorema X. I 12 punti P i/£ P'« formano alla lor volta 3 tetraedri fasciali cioè 

 Pia P'12 ?34 PVi ecc. i piani opposti sono i piani n ik e n iìc cioè m% n'n 7ì 34 7t' 34 ecc. 

 Mentre i tre punti P' i7 , sono situati nel piano B t B 3 B s (Teorema V) i piani n ik 

 s' incontrano nel punto Bi. Le rette che congiungono tre a tre i 12 vertici P l7( F i7 , : 

 sono le 16 rette h', mentre le faccie corrispondenti n iì: n' ik s'incontrano tre a tre 

 nelle 16 rette h. Questa seconda terna di tetraedri la chiamo complementare alla 

 prima, tutte e due formano una sestupla di tetraedri fondamentali. 



Teorema XI. I 18 spigoli dei tetraedri della 2 a terna sono gli stessi di quelli 

 della l a , con essi si formano 9 coppie, le quali si dispongono in 6 terne di coppie, 

 nelle quali teme gii spigoli delle tre coppie non hanno nessun punto comune. Essi 

 s'incontrano solamente nei punti P a P' a , e sono situati due a due solamente nei 

 12 piani Kih Tt'hi- 



Teorema XII. Le 12 rette h, che passano per tre dei vertici del tetraedro per es. 

 (A) sono spigoli di un esaedro, le cui diagonali sono le altre rette h. Onde in tutto 

 per i tetraedri della l a terna sono 12 esaedri. Questi hanno per tetraedri diagonali 

 i tre tetraedri della l a terna. Analogamente per i tetraedri della 2 a terna. 



Teorema XIII. Coi 12 vertici dei tetraedri (A) (B) (C) e dei tre della 2 a terna 

 si formano 32 terne, di tetraedri, che si separano in due gruppi di 16. In ciascuna 

 delle 16 terne, corrispondenti per es. alla terna (A.) (B) (C) c'entrano' 9 vertici di 

 questi tetraedri e 3 vertici della 2 a terna, che stanno in linea retta. 



Teorema XIV. Il sistema dei centri di similitudine di 4 sfere formano un identico 

 sistema di punti E» e P',y, P« sono i centri interni e F« sono i centri esterni. I 

 centri Ai A 2 A 3 A 4 sono i centri delle 4 sfere, come possono esserlo anche i vertici 

 dei tetraedri Bi B a B 3 B & , d C 2 C 3 C 4 . Egualmente i punti P« e P' i/£ possono alla 

 lor volta esser considerati, come centri di 12 sfere, il sistema di centri di similitu- 

 dine sono allora i vertici dei tetraedri della l a terna. Dato un sistema di centri di 

 similitudine ci sono 4 gruppi di 4 sfere, che hanno quel sistema in comune. 



Teorema XV. Due tetraedri fasciali (B) e (B t ) con un tetraedro dato (A), ma 

 non complementari, sono iperboloidici in 4 maniere differenti. I 4 iperboloidi così 

 ottenuti formano un fascio e hanno il tetraedro fondamentale come coniugato. I due 

 tetraedri (C) (Ci) complementari ai primi danno luogo ai medesimi 4 iperboloidi. Con- 

 siderando le coppie (C) (Bj) e (Ci) (B) si ottengono altri 4 iperboloidi che appartengono 



