143 — 



al medesimo fascio. Analogamente avviene per le faccie dei 4 tetraedri (Vedi Nota I 

 nel caso n = 2 Teorema XXXI). 



Teorema XVI. In una superficie di 2° ordine dato un tetraedro qualunque ad 

 essa inscritto, e' è sempre un tetraedro ed uno solo che è fasciale col dato ed in- 

 scritto pure nella superficie. Il tetraedro fasciale complementare è un tetraedro coniu- 

 gato rispetto alla superficie. 



Teorema XVII. Dunque consideriamo nei vertici del tetraedro inscritto i piani 

 tangenti, questi formano un tetraedro fasciale col tetraedro coniugato, perciò il te- 

 traedro dei 4 punti di una superficie di 2° ordine e il tetraedro formato dai 4 piani 

 tangenti, sono iperboloidici in 4 maniere differenti. Teorema XVI ('). 



Teorema XVIII. Data una superficie di 2° grado e un tetraedro qualunque, ci 

 sono 8 punti, i quali hanno i medesimi piani polari rispetto alla superficie e ri- 

 spetto al tetraedro. Nel caso che il tetraedro sia coniugato alla superficie , allora 

 gli 8 punti formano due tetraedri coniugati, omologici in 4 maniere differenti per 

 i vertici e le faccie opposte del tetraedro coniugalo fondamentale e formano con esso 

 una terna di tetraedri fasciali. I tetraedri della 2 a terna sono anche coniugati rispetto alla 

 superfìcie di 2° grado. Ogni tetraedro dà luogo rispetto ad una superficie dì 2° grado 

 ad una sola sestupla di tetraedri coniugati; se la superficie è reale, allora 5 di essi 

 sono- immaginari, se invece è immaginaria, se il primo è reale, son tutti 6 reali. 



Teorema XIX. Se di un tetraedro fasciale con un tetraedro coniugato rispetto 

 ad una superficie di 2° grado, si costruisce il tetraedro polare reciproco rispetto alla 

 superficie si ottiene un tetraedro pure fasciale col coniugato, onde due tali tetraedri polari 

 reciproci rispetto alla superficie di 2° grado e fasciali con uno dei suoi tetraedri 

 coniugati, sono iperboloidici in 4 maniere differenti ('). Vedi Teorèma XVI. 



Teorema XX. Sopra uno dei 18 spigoli reali di una sestupla di tetraedri fa- 

 sciali, ci sono due punti immaginari P'a che dividono armonicamente la coppia di 

 punti P l7l . F a e la coppia dei vertici dei primi tre tetraedri (A) (B) (C) situati su di 

 esso. In tutto sono 18 coppie, sono situati 6 a 6 in 6 coppie di rette immaginarie I, 

 che s'appoggiano a tre coppie di spigoli appartenenti rispettivamente ai tre tetraedri 

 di una qualunque delle terne della sestupla. 



Teorema XXI. Le 6 coppie di rette immaginarie I sono situate in una super- 

 ficie di 2° ordine S, la quale taglia le rette h ed ti, nei loro punti E E', ed ha 

 ivi per piani tangenti i piani e e' \ gli spigoli delle 9 coppie di spigoli opposti e le 

 32 rette delle 16 coppie di rette hti corrispondenti secondo il Teorema X, sono coniu- 

 gate rispetto alla superficie S. La S è immaginaria, essa ha per tetraedri coniugati, 

 i 6 tetraedri della sestupla (Teorema XIX). Vedi Nota I pel caso n=2 Teorema XXIV. 



Queste proprietà valgono per qualunque superficie del 2° ordine, un suo te- 

 traedro coniugato secondo il Teorema XIX dà luogo ad una tale sestupla di tetraedri. 



C) Chasles nélV Aperm historique dimostra che sono iperboloidici in una sola maniera, vale a dire 

 che i vertici del tetraedro inscritto e i punti d' incontro dei piani tangenti negli altri tre, sono situati 

 in 4 rette di un iperboloide. 



('-') Chasles nelT Apercu historique , sur le théorème analogue de Pascal et Brianchon dans 

 l'espace, dimostra che due tetraedri polari reciproci qualunque sono iperboloidici ; qui dunque si 

 vede che ve ne sono di quelli iperboloidici in 4 maniere differenti. 



Transunti — Yot. IV. 0 19 



