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« Se le n equazioni, onde le y sono legate colle x, sono risolvibili rispetto alle y, 

 queste si potranno considerare come funzioni esplicite delle x, che saranno indipen- 

 denti. Ed allora sviluppando <$y r e dy r si avrà 



22-^ (dx r Sor-, — dx s òx r ) == 0 , (s — 1,2 ... n) 

 ed accoppiando in questa somma i termini moltiplicati per lo stesso binomio avremo 



2 2 ( _ m^, Ja- _ doo fa ) = o . 

 Ora essendo^ le a? indipendenti tra loro si avrà 



e quindi 



essendo <p una funzione arbitraria delle x. Questo sarebbe il caso particolare di k—0. 



«. Ma le n equazioni fra le x e le y possono non essere risolvibili rispetto a 

 queste, e quindi le y non potranno considerarsi come funzioni esplicite delle x, nè 

 queste saranno indipendenti, poiché da quelle equazioni emergerà una o più equa- 

 zioni tra le sole x. 



« Siano adunque 



<pi=0, ^ 2 =0, ... <P*=fO. 



queste equazioni, e siano 



Z\ z% ... .z n _ k 



funzioni arbitrarie delle x, le quali, ricavate dalle z e dalle <p, alla loro volta potranno 

 essere considerate funzioni delle z; le quali 2 poi soddisfacendo identicamente alle <J> 

 potranno essere ritenute come variabili indipendenti. 

 « Osservando ora, che 



2 Sy r dx r — 2 dy r àx r , 



r r 



equivale a 



§ 2 y r dx r =d2y r àx r , 

 avremo r 



$2y r 2^ dz i = d2y r 2^$z i , (i = 1, 2, ... , n — k) ; 



ovvero 



$2dz i 2y r -p L = d2dz i 2y r \® r - . 



i r °Z T ,■ °5j 



Quindi per ciò che abbiamo già dimostrato, avremo 



essendo <p una funzione arbitraria delle z. Ora questa equazione equivale a 



Vr -TxV Xl ^xV M ~ìx7 "' k ' 

 e con ciò il teorema è dimostrato. Giova inoltre osservare come si possa nell'espres- 

 sioni (1) e (2) cambiare una x s qualsiasi nella rispettiva y s , purché la y s si muti 

 contemporaneamente in — x s . 



