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§ 2. 



« Si abbiano le equazioni 



^ di àp r ' <fó *q r 



e si vogliano trasformare le 2n variabili p e q in altre P e Q in modo che qua- 

 lunque sia H, risulti 



dq L _m_ dP^ j>H_ 



W dt — iP r ' di — àQ, ■ 

 Dalle (3) e dalle (4) si ricava 



2 ($p r dq r — dp r $q r ) == §H 



r 



2 (SP r dQ r — dPMr) = §H 



r 



onde 



(5) 2 (8p, — 3P r rfQ,.) = 2 (dp, 8g P — dP, 3Q r ) • 



r 7* 



Questa equazione ha la medesima forma della (1). Essa dunque sarà soddisfatta, 

 ed unicamente soddisfatta, dalle equazioni 



(7) \^ " ^Qr 



(8) <H= 0 , ^ = 0 , .... ,<p* = 0 (fc^rO 

 ove la e? e le ^ sono funzioni arbitrarie delle g e delle Q. 



« Le equazioni (7) ed (8) daranno le X e quindi le q in funzione delle P e delle 

 Q; poscia le (6) somministreranno le p in funzione delle stesse quantità. 



« Ed anche qui si può fare l' avvertenza analoga a quella posta alla fine del 

 precedente §. 



« Jacobi (') nel teorema X dà la trasformazione contenuta nelle (6) e (7) pel caso 

 di k = 0. Nel teorema XI dà la trasformazione per k qualunque. La sua deduzione 

 fondata su considerazioni meno generali non gii permetteva, è vero, di asserire che 

 in quelle trasformazioni erano racchiuse tutte le trasformazioni possibili, ma come 

 si vede, egli non sbagliò nella sostanza. 



§ 3 - 



« Dove Jacobi mi sembra abbia davvero errato, si è nel teorema XII, in cui dà le 

 espressioni delle P per il caso in cui le q siano funzioni delle sole Q, ed afferma 

 che tali espressioni sono le più generali. 



« Questo caso corrisponde a quello di k==h, ed egli dà 



7> qi lq% ì>q n 



Ps ^ ^ - ^ ' 

 mentre a questa espressione per essere generale vuole essere aggiunta, la derivata 



( 1 ) Memoria citata. 



