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l'espressione in forma d'integrale definito (§ 311); dimostra che essa ammette un nu- 

 mero infinito di radici reali (§ 307); ammette la sviluppabilità di una funzione arbi- 

 traria, data fra certi limiti, in serie di queste funzioni involgenti le radici medesime 

 (§ 315); finalmente trova le proprietà integrali, che valgono a determinare i coeffi- 

 cienti d'una tal serie (§ 319). La funzione cilindrica di seconda specie si può dire 

 similmente trovata da Pourier, in quanto che trova della (2) l'integrale completo (§ 310). 

 Ora, avendo fatto alcune ricerche intorno alle vibrazioni di un filo flessibile ed ine- 

 stensibile, nel rivedere i lavori fatti dai matematici del secolo scorso sopra questo 

 soggetto, e intorno ad argomenti affini, ebbi occasione di notare che le funzioni ci- 

 lindriche di ordine zero sono già incontrate e considerate da Daniele Bernoulli e da 

 Eulero, così che gli studi di Pourier non sono propriamente i primi che siano stati 

 fatti intorno ad esse. 



In una Memoria dal titolo : Theoremata de oscillationibus corporum filo fle- 

 wili connexorum et eatenae verticaliter suspensae, inserita nel tomo VI. (pag. 108) 

 dei Commentarti Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (anni 1732-33), 

 Daniele Bernoulli, cercando, le condizioni necessarie perchè una catena grave, omo- 

 genea, sospesa per un estremo, compia oscillazioni (infinitamente piccole) periodiche 

 (Theor. Vili. § 16 pag. 116) trova che, posta l la lunghezza della catena, ed x quella 

 del tratto compreso fra l'estremo libero ed il punto corrente M, il rapporto fra lo 

 spostamento di M e quello dell'estremo dev' essere 



X XX X k X 1 £C 8 



P ~~ ~n~^Jwn 4.9.n 3 " + " 4.9.16.n 4 ~ 4 . 9 . 16 . 25 . n 8 eC<? " ( ' 

 dove n si deve assumere di tal valore onde sia 



J_ Jl_ _J>_ J»_ _ 



n ^ Ann 4.9.« 3 ' H " 4.9.16.n 4 4 . 9 . 16 .25 .n 5 eCC — 

 Si vede che le serie, che figurano in queste equazioni, sono gli sviluppi per po- 

 tenze della variabile di J 0 ^2^/^^, Jo^j/'— ^. 



Dai §§ 25, 26 della citata Memoria, e più particolarmente da una seconda Me- 

 moria, pubblicata nel susseguente tomo VII. dei Commentarti (pag. 162), sotto il 

 titolo : Demonstrationes theorematum .... de oscillationibus corporum filo flexili 

 connexorum et eatenae verticaliter suspensae, apparisce che la (3) è dedotta, me- 

 diante l'integrazione per serie, col metodo dei coefficienti indeterminati, dall'equazione 



x ÉJi + JL = 0 (5) 



dx % dx n ' 



che si riduce alla (2), colla sostituzione x- 



4 



Già nella prima Memoria (§ 21 pag. 118), Bernoulli asserisce che l'equazione (4) 

 ha infinite radici reali, e ne dà le due prime, nella forma n = 0, 691 Z, n = 0, 13 l, 

 che dice (§ 17, pag. 117) trovarsi con brevissimo calcolo, coll'impiego del metodo da 

 lui dato in una Nota dal titolo: De resolutione aequationum sine fine progredien- 

 tium, per la quale rimanda al tomo V. dei Commentarti. Da quei valori si rica- 

 vano per le due prime radici dell'equazione 



J 0 (x) = 0 



