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A proposito del citato sviluppo dell'integrale completo, Eulero fa osservare 

 (Mero. 2 a § 15) come l'equazione in discorso appartenga ad una classe considerata 

 nelle sue celebri Inslilutìones Calculi Integralis. — Giova notare che ivi (t. IL 

 sec. I. cap. Vili. § 977 pag. 235), fra gli altri esempi di equazioni di quella classe, 

 è considerata l'equazione 



d? y dy „ , 



che per m — 2 g—\ si riduce direttamente alla (2), e ne è dato l'integrale com- 

 pleto sotto la forma 



2g , 6r/ 2 , 22# 3 , 100o 4 

 m 3 1.8.W 5 1.8.27.m^ 1.8.27.64.m 9 



y m 2 1.4. ^ 1.4.9.W 6 1.4.9.16.™ 8 6 / 



-4-b[( 1 %x m + f x % » f « 3m + g * « to — etcA log ce 



L\ m z 1.4.m 4 1.4.9.m b 1.4. 9. 16. m 8 / 



' ■ 



Alla risoluzione dell'equazione (4) è dedicato tutto un numero (De resolutione 

 aequaiionis infìnitae eie. §§ 23-31 pag. 170) della prima Memoria, e ne sono cal- 

 colate le prime tre radici, donde risulterebbero per le corrispondenti dell'equazione 



Jo {x) = 0 



a?i = 2,405, «2=5,537 «3 = 8,632. Per la terza radice il sig. Bourget (Mem. cit.) 

 dà 8,654. 



Finalmente, risultando la (5), in questi due lavori, da un'equazione alle derivate 

 parziali, che, in entrambi, si riduce alla seguente . 



\dt* ) \dx % ) \dx) 1 n ' 



Eulero osserva come, per ciascuna di quelle radici, si abbia una integrale partico- 

 lare dell'equazione stessa: che se, lasciando in tutte un fattore arbitrano, se ne 

 formerà una serie infinita, questa involgerà un infinito numero di costanti arbitrarie 

 e formerà una soluzione « maxime generalem » dell'equazione proposta. Aggiunge 

 che, nei singoli problemi, queste costanti dovrebbero essere determinate in confor- 

 mità delle date condizioni iniziali « quod certe opus ovnnes vires analyseos longe 

 esset swperaturum » (Mem. l a § 13, 14 pag. 162). Questa difficoltà doveva superarla, 

 mezzo secolo dopo, Fourier. Ma è certo che in quella soluzione di Eulero è impli- 

 citamente ammessa la svilupp abilità di una funzione arbitraria in serie di funzioni 

 cilindriche di ordine zero: onde il passo importantissimo fatto da Fourier in questa 

 questione si può dire propriamente lo stesso di quello da lui fatto per gli sviluppi 

 trigonometrici, che portano il suo nome. 



Per riguardo alle funzioni cilindriche degli ordini superiori, è singolare che Eulero, 

 affatto indipendentemente dalle ricerche di cui si è fin qui parlato, si è occupato 

 estesamente di un' equazione alle derivate parziali, donde esse sarebbero necessaria- 

 mente scaturite, s'egli avesse adoperato un metodo d'integrazione analogo a quello 

 di cui si vale in quelle ricerche. Intendo parlare della Memoria di Eulero, inserita 



