su n funzioni analitiche arbitrarie y> 1 , (p 2 , ... (p n , è evidente che collo stesso 

 metodo giungeremo a scrivere una forinola analoga 



m! ! m 2 ! w r 



*i,»i...»n 



essendo 



(8) Cto, iB.!"'». — — ( r ™ _ ™ r ™ ) 



« Questo risultato che appare una naturale estensione della formola tro- 

 vata dal prof. Pincherle ha, come quella, un valore puramente formale; per 

 l'applicazione effettiva si dovrà, per ogni singola operazione funzionale, limi- 

 tare opportunamente il campo di arbitrarietà delle funzioni y> e n. I coef- 

 ficienti della serie multipla precedente risultano funzioni delle variabili 

 e potremo ottenere la loro espressione dalla formola (3), 



avremo cioè 



C OT , ,m 2 .. m n = 



mi m n 



=V ... y (_l)r 1 +-.-H- n («,) ... (» n ) . A (tr^i , ... t n m n~ r n) . X/i ... Xj* . 



O 1 0 » 



« 5. Guardiamo ora in che relazione sta lo sviluppo (7) trovato pre- 

 cedentemente con i risultati generali ottenuti dal prof. Volterra nella 

 prima di una serie di Note pubblicate fra questi Rendiconti ( 1 ). Sotto 

 certe condizioni di continuità il prof. Volterra ha espresso l'operazione fun- 

 zionale più generale sopra una funzione arbitraria <p (t) di variabile reale 

 nella forma seguente 



(9) A (cf(x)) = M 0 + 



+ / ~z\ ( ■ f - f M » (x;t ì ,t 2 ,...t n )...<p(t 1 ).<p(U)...(p(tn)dt l .dt 2 ....dtn, 



cioè come una serie d'integrali semplici, doppi, ... , essendo sempre lo stesso 

 l'intervallo d'integrazione; le funzioni M. n (x ; ti , t 2 , ... t n ) sono quelle che 

 il prof. Volterra definisce come derivate d'ordine n dell'operazione funzio- 

 nale A ed hanno la proprietà di esser simmetriche rispetto agli n para- 

 metri ti , h , ••• t n . Ora indichiamo con I„ l'integrale che comparisce nel ter- 

 mine generico di questa serie, cioè poniamo 



I„ = J... ... j^M» (x ;ti,t 2 - Q <p(h) (p{t 2 ) ... (f){t n ) dti dia ... dt n 



e consideriamo l'espressione 



J M = f ... f ... JìlL n (x ; ti ... t n ) (fi(ti) . <fi(t 2 ) ... (p»(t n ) dti dt t ... dt n 



(!) Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 2° semestre 1887. 



