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ottenuta da I n col sostituirvi all'unica funzione g> le n funzioni distinte 

 <Pi » 9>2 > ••• <P« ; la J OT è evidentemente un'operazione funzionale sulle spi , y> 2 , ... (p n 

 e distributiva rispetto a ciascuna di esse, quindi si potrà sviluppare formal- 

 mente secondo le forinole (7), (8); avremo cioè 



(10) J n =^_ C 



m (iw.) rfì (m.) rri (mi 



», ,«2 ... 



ove i coefficienti avranno l'espressione seguente 



C m ,,»n 2 ..., mn ~ 



m r , 



=J...J\..Ju n . — x) m i (t 2 — #) m * ... (t n — x ) m n dt x ... dt t ... < 



« Per passare ora da J„ ad I n basterà nella (10) porre di nuovo 

 (p x == (f 2 — ... =^ (p n = cp ed otterremo 



(11) i„=I C„ 



m ì» 2 _ » 



mi ! w 2 ! m w ! ' 



così abbiamo ottenuto lo sviluppo formale del termine n esìmo della serie del 

 prof. Volterra in una serie multipla dell'ordine n ordinata per le derivate 

 della funzione y>; ora i varii termini l n della serie (10) considerati come 

 operazioni funzionali sulla funzione y>, banno proprietà di ordine più elevato 

 a seconda cbe si progredisce nella serie: così li è un'operazione funzionale 

 distributiva 



ii(g> + V) = ii(sp) + ii(V) , 



e la forinola (11) ne dà, per n = l, lo sviluppo dovuto al prof. Pincberle; 

 I 2 non godrà più della proprietà distributiva; ma se si considera J 2 , questa 

 sarà distributiva rispetto a y>i,(pz separatamente, cioè: 



J2 + Vi . 9>2 + V») = Jb(5Pi > 5P«) + J2 (<Pi p) + J 2 (Vi 5 ^2) + Jz(Vi 1 Va) 



e tornando ad I 2 col porre <p x = <p 2 = f> , Vi = V2 = V e notando cbe 

 J 2 (9) , <//) = J 2 (1//, y) , avremo per I 2 la proprietà 



i, ( 9 + vO = ^ (sp) + i» (v) 4- 2 J 2 (sp , v) ; 



analogamente I 3 godrà della proprietà 



I 3 (cp + V) = I3 (9>) + 3 J 3 (9 , sp , V) + 3 J 3 (sp , V , V) + I3 (V) 



e così di seguito con legge evidente. 



« 6. Lo sviluppo (11) trovato per queste operazioni funzionali I n che 



