— 58 — 



godono di una proprietà più complicata che non sia la distributiva si può 

 ottenere anche direttamente nel seguente modo comunicatomi dal prof. Vol- 

 terra. Consideriamo per semplicità il caso di n = 2, 



I* =J*J*M 2 (se ,t x , U) y> {h) . (f(U)"dt, . dt t 



e sviluppiamo y> (ti) , (p (t 2 ) in serie di Taylor 



' mi—o 1 ' m.2=o 2 " 



e sostituiamo questi sviluppi nella I 2 ; avremo, integrando termine a termine, 



00 QO 



i,=y y t^&É. p CM^hMiti—xTih-xrt.dtidu 



Z_ Z_ ?»! ! m 2 ! Ja Ja 



rn=o ni2=o 



formola che coincide appunto con quella trovata sopra. 



7. La signorina Fabbri, in alcune sue ricerche sulle funzioni dipen- 

 denti da altre funzioni, (') ha esteso i risultati del prof. Volterra consi- 

 derando l'operazione funzionale più generale sopra più funzioni arbitrarie di 

 variabili reali indipendenti A \jpi(ti) , g> 2 (t 2 ) ... g> n (t n )2 > e s °tto certe con- 

 dizioni di continuità ha espresso una tale operazione sotto forma di una 

 serie ordinata per integrali ^ upli , 2« pli , 3%p u .... ; soltanto l' integrale rc pl ° 

 che rappresenta il termine di 1 0 ordine di questa serie gode della proprietà 

 distributiva rispetto a ciascuna funzione <p separatamente, quindi esso si 

 potrà sviluppare secondo la formola (7), ciò che si potrebbe verificare anche 

 in modo diretto. La signorina Fabbri ha sviluppato ancora sotto forma ana- 

 loga l'operazione funzionale più generale sopra una sola funzione di più va- 

 riabili reali indipendenti k\jp(U , t 2 , ... t n )~\ ; qui pure l'integrale n npl ° che 

 rappresenta il termine di 1° ordine di questa serie, è il solo fra i termini 

 della serie stessa che goda della proprietà distributiva; esso si potrà svi- 

 luppare formalmente in una serie w pla come apparirà da quanto diremo nel 

 Numero seguente. 



« 8. Accenniamo ancora ad un'altra estensione di cui è suscettibile la 

 formola data dal prof. Pincherle. Consideriamo cioè un' operazione A, ese- 

 guita sopra una funzione y (t x , t 2 , ... t n ) analitica a più variabili, e avente 

 la proprietà distributiva 



A(9> + V)=A(sp) + A(y) ; k(c<p) = ck(<p); 



siano Xi , cc% , ... x n le variabili che, dopo eseguita l'operazione A vengono a 

 surrogare le ti , t 2 , ... t n ; si potranno definire dell'operazione A n derivate 

 prime mediante la solita formola 



A (hy) — Xik (<p) (i = 1 , 2 , ... ri) 



(i) Atti della R. Accademia delle scienze di Torino, voi. XXV, 1889-00. 



