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che diremo derivata d'indice ?' esimo ; potremo indicare queste derivate con 

 degli indici alla lettera A; limitandoci, per semplicità di scrittura, al caso 

 di n = 2, avremo le due derivate 



A 10 (<p ) = A (tig>) — x x k(y>) , Aoi (g>) = A (t t g>) — x 2 k (g>) ; 

 ancora varrà l'invertibilità delle derivazioni, quindi potremo indicare la de- 

 rivata seconda mista col simbolo A n senza alcuna ambiguità ed avremo 



Ah (<f) = A (t x t 2 <f) — Xik (U (p) — x 2 k (ti (p) -\- XiX 2 k (cp) ; 

 in generale la derivazione successiva, m x volte d'indice 1°, m 2 volte d'in- 

 dice 2°, darà luogo all'espressione 



K imì (tp) = y \ (— 1)W (».) (•?.) . k(ti m - r tt z m ^g>) x/i x/2 



e applicando questa formola in modo ricorrente potremo calcolare k(ti p t 2 q (p) 

 in funzione di k(y>) e delle sue derivate ed avremo 



p 'i 



k(mM = y_ r y ■■ e r j («,) A ri , 2 xì^ì xé-r* , 



o 1 0 2 



« Consideriamo una serie doppia di potenze 



n = y^ g v *,« 



e formiamo A(?r<p); avremo 



p ? 



A(7T5p) = ^a pq A(m 2 icp) =y óp, ^ y (* ) (* ) k riU xP*i x 2 «- r * 



pq pq 0 ' 0 2 



ed ordinando rispetto alle derivate di A potremo scrivere 



00 00 00 00 



k(n<p) = y_ y A, ira ( y ) y y ^ &) &) 



^ ri ! r 2 ! ^a? 1 r . 

 « Facendo in questa formola <p = 1 , tv = <p otteniamo 



W Z_ Ti ! r 2 ! D^i^x dxft ' 



nel caso generale che <p sia funzione analitica di n variabili ti , U , ••• > 

 avremo lo sviluppo formale 



ISPJ — /_ ri t r2 1 ... rn i ■^ a?1 r l c 



efo? 2 r « ... d# n r » 



nr2 ... r«, 



che si presenta come estensione naturale di quello trovato dal prof. Pin- 

 cherle ». 



Rendiconti. 1895, Vol. IV, 2° Sem. 9 



