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È opportuno trasformarla (col sig. Eohn, loc. cit.) aggiungendo anzitutto 

 alla l a orizzontale moltiplicata per — (s — 1) quelle seguenti moltiplicate 

 per (n — s) x l7 (ti — s)x%,... , con che la l a orizzontale viene ad avere in 

 tutti gli elementi un fattore (n — 1), che si sopprimerà; e poi operando una mo- 

 dificazione analoga sulla l a verticale. Con ciò si viene ad introdurre l'ipotesi: 



s ^> 1. E la Hessiana di f diventa, a meno del fattor numerico 



— gu s — (q— 2)it s+1 -(Q—h.h+l)u s + h « l s - f - 1 -2;{, s + 2 -+- •-h/u<i s +' 1 -+— •• U2 s+l +2u,z s+ *-+- 



2« 1 s+l -t-2M 1 s - f - 2 H t-hu, s+h -i Uu'-t-Uti'* 1 -*-"'. •u 1 2 s -*-u 11 s ->- 1 -*- 



U2 s+1 -+-2u 2 s+ --^- ■ UrZ-^u^- 1 - 1 ^- •u* t '-t-Uit s+1 -+- 



dove per brevità, s'è posto 



(s — DQ i—s) 



Sviluppando ora questo determinante (che nel seguito indicherò con J). si vede 

 subito che l'insieme dei termini del minimo ordine nelle variabili x x ... x& sarà 

 dato in generale da — qu s moltiplicato per la Hessiana della forma u s rispetto 

 a quelle variabili, e sarà quindi d'ordine s -j- ci (s — 2) — (d-\-l)s — 2o! . 

 Adunque : V Hessiana di f ha in generale nel punto s-plo di questa forma 

 la multiplicità (d-\-\)s — 2d; il suo cono tangente in quel 'punto si com- 

 pone del cono tangente ad f (cioè u s ) e del cono Hessiano di questo (Hes- 

 siana di u s rispetto alle variabili x x ... xà)- È questa, se si pone d = 2 e 

 d — 3, la proposizione nota a cui alludevamo da principio. 



« Riguardo ad essa si osservi che la multiplicità dell' Hessiana di /riu- 

 scirà maggiore di quella enunciata, quando svanisca il gruppo di termini di 

 cui s'è parlato, vale a dire (poiché u s non è identicamente nullo) quando sia 

 identicamente nulla l'Hessiana di rispetto ad x x ... xa- Si sanno assegnare 

 tutte le forme u s per le quali ciò accade ( 1 ); il caso più ovvio ed il solo 

 che si presenti finché d<.4 è quello in cui u % abbia un elemento {x\....x&) 

 s-plo, cioè il cono d'ordine s e di centro 0 rappresentato dalla forma u s abbia 

 una generatrice s-pla e sia quindi un cono di 2 a specie avente per sostegno 

 questa retta. Poniamo, più in generale, che il cono u^ tangente nel punto 

 s-plo 0 ad f sia di specie 1 -\- 1 , cioè abbia per sostegno uno spazio 

 Si(0^i^d — 1). Assumiamo questo spazio come spazio fondamentale 

 Xi+i = — ~ x& = 0 : allora l'ipotesi fatta equivale a dire che la forma u s 

 contiene solo le variabili x i+ i , ... , Xa e non X\ , ... , Xi . Ne segue che sono 

 nulle le Ua s > — , Uìk per tutti i valori di k ; e che per conseguenza nello 



f 1 ) Gordan u. Nother, Weber die algebraischen Formen, deren ff essersene Deter- 

 minante ideatiseli verschivindet, Math. Ann. 10 (1876). 



