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sviluppo del nostro determinante J l'insieme dei termini del minimo ordine 

 sarà ora dato, in generale, da 



■gu s X 



Dunque: in un punto s-plo di f tale che il cono tangente in esso ad f 

 abbia per sostegno un S; la Hessiana di f ha in generale la multiplicità 

 (d -{- 1) s — 2d -f- i ; fanno parte del cono tangente alla Hessiana di f in 

 generale il cono d'ordine s tangente ad f ed anche V Hessiano d'ordine 

 (d — i) (s — 2) di questo cono nella forma fondamentale di spazi Si +Ì che 

 ha per sostegno l'Si . Quanto alla parte residua, data dal determinante delle 

 2 e derivate di u s+ì rispetto a x x , ... , Xi , si osservi che queste derivate coin- 

 cidono con quelle della forma (n — s) x 0 u s -j- u s+1 , che è la polare d'ordine 

 s -j- 1 del punto 0 rispetto ad /: e si potrà dire, ad esempio, che la parte 

 residua,, d' ordine i (s — 1), del cono tangente in 0 alla Hessiana di f è 

 l'inviluppo dei coni di centro 0 che sono le seconde polari dei punii del- 

 l'ai rispetto alla polare d'ordine s -f- 1 di 0 rispetto ad f. — Fra le appli- 

 cazioni che si possono fare di questa proposizione va rilevato il caso che la 

 forma / ammetta una varietà M; di dimensione i di punti s-pli : perchè al- 

 lora il cono tangente ad f in un punto generico di quella varietà è in ge- 

 nerale appunto di specie z'-j-l. — 



« Ma lo scopo di questa Nota non è di approfondire ulteriormente la de- 

 terminazione delle multiplicità che in vari casi può avere l' Hessiana di /: 

 analisi che già nel campo ternario appare un po' minuziosa. Si tratta invece 

 di richiamar l'attenzione su un fatto relativo ai contatti della Hessiana di / 

 con le rette tangenti ad / nel punto 0. Poniamo che una retta t incontri /' 

 nel punto s-plo 0 un numero qualsiasi s -4- h di volte, o, come diremo per 

 brevità, abbia con / in 0 un contatto d'ordine h: vogliamo vedere di qual 

 ordine sarà il suo contatto con la Hessiana di f. Assumiamo t come retta 

 fondamentale x 2 = = %d = 0 : sostituendo queste equazioni nella f=0 

 dovrà venire la soluzione x x = 0 s -f- h volte. Potremo dunque porre (ordi- 

 nando secondo le potenze discendenti di x x ): 



u s = ^i s_1 y aiXi -J- - x^~ % y_aiu XiXm -\ — 



2 



- 1 = x x s ^Jixi -f- 1 x^- 1 ^Tbi h xiXn -\- 



u s+h 



= exi s+h + xf^ 1 - 1 fj&i + - 



