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 dove gl'indici l, k variano da 2 a ci ed è 



e 4=0 . 



Il numero delle intersezioni coincidenti in 0 della retta t con la Hessiana 

 di / sarà dato dal minimo esponente a cui comparirà x l in questa Hessiana 

 dopo che vi si sia posto x% --— ••••== x& — 0. Riscriviamo dunque il deter- 

 minante Hessiano J ponendovi per le u le loro espressioni attuali; ed 

 inoltre annullandovi x% , ... , Xd • e tenendo solo conto, in ciascun elemento, 

 del termine più basso in x x . Avremo : 



{q — h . h -+- 1) ex^ h , 

 h (s -+- h) ex t s+h - 1 , (s 

 bzX^ , 

 hx, s 



h(s-)-h) ex^^- 1 



h) (s-h h — 1) ex^' 1 - 2 ,(s 



(s — 1) a 2 Xi s ~ 2 , 



(s - 1) a 3 x, s - 2 



bzXx s , b 3 Xi s . 



1) a>Xi s ~ 2 , 0 — 1) a 3 #i s-a 

 a ì2 Xi s ~ 2 , a 23 «i s ~ 2 

 a^x^- 2 , a 3 3Xi s - 2 



Analizzando questo determinante si vede che l'insieme dei termini più bassi 

 nel suo sviluppo sarà dato da 



fl . 1 «n-i>«-*fc-« x (s — iy 



(1) 



oppure da 



0 0 b, b 3 



0 0 « 2 «3 



bì a% ctiì ttz3 



03 CC3 CI23 #33 



(d-hl)s—2d-t-h 



(2) 



0 a 2 a 3 .. 



CL% Citi Cl%3 ■. 

 &3 O23 CI33 .. 



0 finalmente dalla somma di queste espressioni, a seconda che h ^> 2, op- 

 pure li <^ 2, oppure h = 2. Però questa distinzione di casi non occorre se 

 d — 2, cioè se f è una forma ternaria, una curva piana ; giacché allora il 

 determinante che comparisce in (1) svanisce identicamente, e quindi rimane solo 

 in ogni caso l'espressione (2). Concludiamo la proposizione seguente : 



« Abbiasi una retta t la quale nel punto 0 s-plo per f abbia un in- 

 contro (s -}- KypuntQ; cioè (come oliremo anche) un contatto d'ordine h J 

 con f. Allora: 1°) se d^>2, cioè se si esclude il caso della curva piana, 

 e se inoltre è h >2, la retta t avrà in generale con la Hessiana di f 

 in 0 un incontro multiplo secondo (d-\-l)s — 2d-\-2, cioè un contatto 

 di 2° ordine. 2°) se invece si tratta di una curva piana, cioè d = 2 (qua- 

 lunque sia li); oppure anche se h — Q od h—-l (qualunque sia d); la 



