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retta t avrà in generale in 0 con la Hessiana di f un incontro multiplo 

 secondo (d-\-l)s — 2d-\-h, ossia un contatto d'ordine h. 



« Si vede pure quando è che vi sarà eccezione, cioè che il contatto della 

 retta t con la Hessiana di / sarà più elevato dell'enunciato. Dovrà svanire 

 quel termine, (1), o (2), o loro somma, che abbiamo ottenuto come il più 

 basso; cioè dovrà svanire il suo coefficiente. Ed è facile assegnare un signi- 

 ficato geometrico a questa condizione. Nel 1° caso (ci _> 2, hs^2) la condi- 

 zione che otteniamo per un contatto d'ordine superiore al 2° dipende dai 

 coefficienti di / (e precisamente di u s , u s+ì ) ( 1 ). Ma nel 2° caso (d = 2, 

 oppure h = 0,1) la condizione, che deriva allora dall'espressione (2), può 

 soddisfarsi in due modi; cioè annullando il determinante che compare nel 

 coefficiente di (2), ed anche annullando il fattore ( — q -J- h . h -f- 1). Sosti- 

 tuendo a q il suo valore abbiamo : Se si tratta di una curva piana, cioè 

 se d = 2 ; oppure anche se d è qualunque , ma h = 0 oppure h = 1 ; 

 la retta t a contatto d'ordine h con f avrà contatto d'ordine maggiore 

 di h ( 2 ) con la Hessiana di f: 1°) quando essa giace nel cono Hessiano del 

 cono tangente in 0 ad f ; 2°) quando fra l'ordine n di f, la midtiplicità 

 s in Oj, ed il numero h passa la relazione 



(g _l) ( „ S ) + 

 n — 1 



« È facile determinare tutte le soluzioni intere ft>0,s>l,»>s di 

 questa relazione. Per brevità si scriva di nuovo h (h -j- 1) = q , ed in luogo 

 di s — 1 ed n — s si scriva x e y: si avrà l'equazione 



xv 



ossia 



(x — 9 )(i/ — q) = q 2 , 



donde risulta che x — q ed y — q sono due divisori di q z , fra loro reciproci 

 (rispetto a q 2 ). entrambi positivi (perchè se fossero negativi, tenendo conto 

 che x e y son positivi, risulterebbero entrambi quei divisori di q 2 minori di 

 q in valor assoluto). Dunque: per ogni valore di A, assunto ad arbitrio, si 

 calcoli q = h (h -f- 1), si prendano (in tutti i modi possibili) due divisori 

 positivi di q 2 fra loro reciproci (rispetto a q 2 ), e ad ognuno di essi s'ag- 



(>) Nel campo quaternario, ci — 3, la condizione perchè la retta t a contatto d'ordine 

 h^>2 con f, abbia contatto d'ordine superiore al 2° con la Hessiana di f si riduce a 

 questo: che t conti almeno due volte fra le s (s -+- 1) tangenti principali di / in 0 (cioè 

 fra le generatrici comuni ai coni u s ,u s+ '). 



( 2 ) Più esatto sarebbe dire « un incontro multiplo secondo più di (ci ->- 1) s — 2d -+- h ». 

 Analogamente nel seguito. 



