« 3. Consideriamo in particolare una corrispondenza , in cui sia 

 rn x — ... -— m r — m, e rappresentiamola con per tutto il resto mante- 



niamo gli stessi simboli del n. 1. Allora l'equazione 



dove la somma comprende tutti i termini che s' ottengono ponendo per 

 X , fi , ... ,q tutte le possibili permutazioni dei numeri 1, 2, ... , r, e le hi sono 

 costanti affatto arbitrarie, definisce, al variare delle hi , un sistema lineare 

 oo r!_1 di corrispondenze \_m~] r , che tutte hanno in comune la varietà dei 

 punti r-pli, e fra le quali trovasi anche la data. Di tali corrispondenze 

 sono specialmente notevoli le due simmetriche C 0 e C! risp. rappresentate 

 dalle equazioni 



« La Ci gode della proprietà che, se un punto arbitrario y vien con- 

 siderato come (r — l)-plo per essa, l'iperpiano polare di y rispetto alla va- 

 rietà d'ordine m, che così gli corrisponde, non è altro che l'iperpiano polare 

 di y rispetto alla varietà V. Invece la C 0 è tale che la varietà d'ordine 

 m , corrispondente ad r — 1 punti arbitrari, contiene ciascuno di questi 

 punti ('). 



- Per r = 2 il sistema (5) è un fascio, e le corrispondenze [w,m], 

 di cui è formato, sono a due a due inverse l'una dell'altra. Fissato un punto 

 arbitrario y, il suo iperpiano polare rispetto alla varietà che gli corrisponde 

 in C 0 non è altro che l'iperpiano passante per y e per l'intersezione degli 

 iperpiani polari di y rispetto alle due varietà che corrispondono ad y nella 

 corrispondenza data e nella sua inversa (ossia per y e per la base del fa- 

 scio degl'iperpiani polari di y rispetto alle varietà che gli corrispondono nelle 

 corrispondenze del fascio). Combinando quest'osservazione col teorema del n. 1, 

 si conclude che il teorema dimostrato dal Segre (nel n. 11 del 1. c.) per 

 una correlazione di S n (all' infuori di ciò che si riferisce agli spazi fonda- 

 mentali dell'omografia appartenente alla correlazione stessa) sussiste, più in 

 generale, anche per una qualsiasi corrispondenza [m , m~\ data in S n . 



« 4. Tornando alla considerazione generale di una corrispondenza [w] r , 

 sia y un punto arbitrario di S w , e siano Cj , tf 2 , ... , a n costanti qualunque 

 indipendenti da y : allora l'equazione 



(6) j_<fi A x (i) = 0 



(!) Per m = l ed r = 2, cioè per una correlazione di S», la C 0 è un ordinario si- 

 stema nullo (degenere se « è pari). 



