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rappresenta un determinato iperpiano E, appartenente alla forma fondamen- 

 tale di specie r — 1, di cui si è parlato nel n. 1. Ora si consideri l'e- 

 quazione 



(7) fff t a,** J ty» a (1 £ ... a«~f a^f ... a' f* = 0 , 



dove il secondo segno sommatorio si estende a tutti i termini che si otten- 

 gono, per un dato valore di i , ponendo per l , ... , /j. , v , ... , % tutte le pos- 

 sibili permutazioni dei numeri 1 , 2 , ... , r — 1 , e le k sono costanti indi- 

 pendenti da y e soggette alle sole condizioni 



(r-l)! (r-l)< (r— I)! 



£ kj w = y_ kj w = - = J_ kf } . 

 i i i 



Al variare delle k, la (7) definisce un sistema lineare oo r!_ '' di corrispon- 

 denze [m} r contenuto nel sistema (5) : esso risulta pienamente determinato 

 dalla data corrispondenza e dai parametri cr,- che entrano nella (6), ma non 

 dipende affatto dalla scelta del punto y. Se ora nella (7) facciamo coinci- 

 dere cony tutti gli r — 1 punti x a) , ... , , x™ . .... , x (T) , e di y cer- 

 chiamo l'iperpiano polare rispetto alla varietà d'ordine m che così gli viene 

 a corrispondere, troviamo come equazione di tale iperpiano, qualunque siano 

 le k, la stessa (6) che rappresenta il dato iperpiano E. Perciò , ricordando 

 (n. 1) il significato delle (3) e (4), si ottiene il teorema: 



Data in uno spazio di n dimensioni una corrispondenza [_m~] r (con 

 r<.n-\-l) e dato un gruppo fisso G costituito da r-\-\ iperpiani e da 

 un Sn-r+i passanti tutti per uno stesso S n - r , risulta individuato un si- 

 stema lineare co r '-~ r di corrispondenze [pi],- , le quali hanno tutte la stessa 

 varietà di punti r-pli che ha la data, e godono della seguente proprietà : 

 se di un punto arbitrario y si considerano gl'iperpiani polari rispetto alle 

 r varietà che gli corrispondono in virtù della data [nf\ r , quando lo si 

 riguardi come (r — \)-plo per essa negli r modi possibili, e se nella forma 

 fondamentale individuata da tali iperpiani si costruisce l'iperpiano E, che 

 cogli r precedenti e coli' S n _ r +i individuato da y e dal sostegno della 

 forma costituisce un gruppo proiettivo al gruppo dato G, allora E è l'iper- 

 piano polare di y rispetto a tutte le varietà che gli corrispondono nelle 

 corrispondenze del detto sistema lineare , quando lo si riguardi come 

 (r — V)-plo per esse in un modo conveniente (che risulta lo stesso per tutte), 

 u Per r = 2 il teorema si può enunciare anche nei termini seguenti : 

 Data in S n una corrispondenza \_m , ni} , e dato un numero arbitra- 

 rio k, risulta individuata in S„ una nuova corrispondenza \jn , ni] avente 

 la stessa varietà di punti uniti che ha la data, e tale che, se di un punto 

 arbitrario y si considerano gl'iperpiani polari Ei ed E 2 rispetto alle due 

 varietà che gli corrispondono nella data corrispondenza e nella sua in- 



