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« Suppongasi ora che la funzione ip (r) soddisfaccia all' equazione dif- 

 ferenziale omogenea a coefficienti costanti : 



(3) V (2 "' + tfi<^ (2,! - 2) + C 2 ^ C2n - 4 ' H H + CnV = 0 



e s'immagini protratta la serie delle antecedenti equazioni fino alla (n -j- l)e- 

 sima. Facendo la somma di tutte queste equazioni, dopo averle ordinatamente 

 moltiplicate per i fattori costanti c n , e n -\ , ... c x ,1 , si ottiene, con riguardo 

 a (3), il risultato seguente : 



(3) fl r n v + Cl f^y l| f- v + ? ra v 



= — àTt (G 0 k f G,F k -f- C 2 r 2 Je -j 1- CU r n _ x k) , 



dove le n nuove costanti C 0 , Ci , C 2 , ••• C„_i hanno i valori seguenti: 



/ C 0 = ^ 0 (2 "- 2) + é^o""-" H h Vo" + C-i ip 0 , 



d = </V 2n - 4) + f^o (2,i - 6) H h c«_,Vo ; 



(3) 6 



i Cn_2 = Vo" + Ci V<> , 



« Se ora si pone : 



ip (r) = Ai<?-<V"-{- A 2 ^- a 2^-l j- À^-V = £ A e~ M ' 



e se si ammette che le n costanti (diseguali) a siano radici dell'equazione 

 tt m _j_ Cl a «|-2 _j \- Cn =0, 



questa funzione ip soddisfa appunto all'equazione differenziale (3), qualunque 

 sieno le costanti A, e la forinola (3) 3 diventa precisamente quella che il 

 prof. Neuniann assume come espressione definitiva del teorema analogo a 

 quello di Poisson, rispetto alla legge esponenziale polinomia : 



2ke~ ar 



r 



(cfr. il § 8 del capitolo III dell'opera del Neumann). 



« Per verità la funzione V considerata dal prof. Neumann comprende 

 anche una parte dipendente da distribuzioni in superficie; ma un'ovvia ri- 

 flessione mostra che l'equazione (3) a , la quale non è per sè stessa applica- 

 bile che a punti (ce , y ,s) nei quali la densità cubica k sia finita e deter- 

 minata, sussiste senz'altro, sotto questa medesima riserva, anche nel caso 

 d'una distribuzione mista, di spazio e di superficie. Rispetto ai punti d'una distri- 

 buzione superficiale continua invece a sussistere l'ordinaria relazione fra le due 

 derivate normali della funzione potenziale, semprechè la funzione ip (r) e la sua 

 derivata ip'(r) si mantengano finite per r = 0; come risulta dall'identità : 



ip(r)_ip(0) , xp(r)~ip(0) 



e come in particolare si verifica per la legge esponenziale. Naturalmente nel 

 secondo membro della relazione anzidetta la densità quadratica si trova af- 

 fetta dal fattore costante ip (0) ». 



