— 229 — 



lice « soluzioni coniugate » dell'equazione, sono stati considerati dal Bras- 

 sine (*) e dal Floquet ( 2 ): essi sono per un'equazione differenziale lineare 

 l'analogo di ciò che è una radice dell'ordine r di multiplicità per un'equa- 

 zione algebrica, e la condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un 

 tale sistema di soluzioni è stato dato dal Brassine nei seguenti termini. Sia 



P = la" + ai ^ £f^ 1 ^ 1" an ~ l W die + Un ^ 



la forma differenziale lineare che, uguagliata a zero, dà l'equazione che si 

 considera. Si moltiplichi ogni termine della forma per l'indice di derivazione 

 e si diminuisca quest'indice di un'unità: si ottiene la forma, già considerata 

 dal D'Alembert: 



d ìu ~ 1 d tl ~ z 

 ¥ =: n laf^ ^ ^ ~~ 1 * lh ^ Ihf 1 * ^ ^ an ~ l ^ ' 



chiamata dal Brassine prima coniugata della forma data : applicando da capo 

 la medesima regola, si ottengono le forme F" , F'" , ... seconda, terza, ... co- 

 niugate della data. Or bene, condizione necessaria e sufficiente affinchè la 

 F = 0 abbia il sistema di soluzioni coniugate </) , x<p , ... x r ~ l (f , è che <p ha 

 soluzione di F = 0 , F' = 0, F" == 0 , ... fino ad F (r_1) = 0. 



« Una questione analoga è stata studiata per le equazioni lineari alle 

 differenze finite, in una Nota interessante recentissimamente pubblicata dal 

 prof. Torelli ( 3 ). Egli ha chiamate « soluzioni coniugate » di una equa- 

 zione lineare alle differenze r soluzioni tali che denotando con y> (a) una di esse, 

 le altre siano date da , x(x -f- 1) y> , ... x (x -{-!)... (x -\- r — 1) y ; ha de- 

 signato col nome di « forma prima derivata » della forma lineare alle differenze 



F = f(x-\- ri) + a, (x) f{x + n — f- a n (x)f(x) 



la F' ottenuta moltiplicando ogni termine per l'indice aggiunto ad x e di- 

 minuendo questo indice di un'unità, talché 



F' = n f(x -f n — 1) -f- (n — 1) a, (x) f(x + n — 2)-\ f- a n -, (x) f(x) ; 



così, applicando reiteratamente la medesima regola, si hanno le forme F" , 

 F'" , . . . o seconda, terza, . . . derivata della forma data. Egli ha trovato che 

 la condizione necessaria e sufficiente affinchè la F abbia il sistema di 

 soluzioni coniugate y , xg> , ... x {x -\- \) .. {x -\- r — 1) y è che essendo g> 

 soluzione di F = 0 ,g> (x -f- 1) lo sia di F' = 0 , y (x + 2) di F" = 0 , ... 

 fino a (p (x-\-r — 1) che deve soddisfare F (r_1) = 0. 



0) Nota III al Cours d'Analyse de V École Polytechnique di Sturili, 3 ème édit. 

 Paris, 1868. 



( 2 ) Annales de l'École Normale supérieure, S. II, T. Vili, 1879. 



( 3 ) Rendiconti della E. Accademia di Napoli, 13 luglio 1895. 



Rendiconti. 1895. Vol. IV, 2° Sem. 32 



