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« Ora in queste poche righe mi propongo di mostrare con quanta sem- 

 plicità le proposizioni precedenti si possono ottenere ricorrendo al calcolo ge- 

 nerale delle operazioni funzionali distributive, di cui ho recentemente esposto 

 i primi principi in una Nota pubblicata in questi medesimi Rendiconti (*). Sia, 

 a tale uopo, A una operazione distributiva qualunque ed A (<p) il risultato che 

 si ottiene applicandola alla funzione y, e si consideri l'equazione A = 0. 

 Diremo che un sistema di r soluzioni di questa equazione forma un sistema 

 di « soluzioni coniugate » , quando le dette soluzioni sono proporzionali ad r 

 funzioni razionali intere di grado non superiore ad r — 1 e delle quali il 

 determinante dei coefficienti sia differente da zero. Il nome di « soluzioni 

 coniugate » si dà solo per uniformarsi alla denominazione usata nei casi pre- 

 cedentemente ricordati. Siano dunque queste soluzioni 



(1) (f i = («ti + OH?, -f olìzX 1 -f- ••• + a ir x r ~ l ) ip 



(«==1,2, 3, ...r), 



in cui il determinante 



è differente da zero. Moltiplicando le (f x , (p° , — </v rispettivamente per i 

 quozienti degli elementi reciproci di am , a 2 h , ••• a r n divisi per D, si avrà, 

 detti a ìh , a 2 /i , — c< rh questi quozienti : 



«Ih (pi + a ^ V* H a rh (fr -~ X lL ~ l ìp 



(h = h 2, ... r) , 



che saranno altrettante soluzioni della medesima equazione A = 0, come è 

 evidente; onde se esiste un sistema di r soluzioni coniugate per l'equazione 

 A = 0, esiste anche un sistema di r soluzioni della forma xp , xip , x 2 ip , ... 

 x r ~ l xp, come pure della forma tp , xip , x (x -j- 1) tp , ... , cosicché la defini- 

 zione nostra racchiude quelle dei due autori ripetutamente citati, nei casi 

 da essi rispettivamente considerati. 



« E facile ora di dare una condizione necessaria e sufficiente per l'esi- 

 stenza di un tale sistema di soluzioni. Nel lavoro citato ( 2 ) ho chiamata de- 

 rivata funzionale di un'operazione distributiva A ((fi) la nuova operazione 



A' (<p) = A (xcp) — xk.(y) , 

 ed in modo analogo si sono definite le derivate seconda, terza, ... A", A'", ... 

 Esse danno luogo alle identità 



A (xcp) = A! ((p) -f- xA. ((f) 

 A (x z (p) = A" {y) -f 2tf A' ((f) -f x 2 A ((f) 



A (ar» == A cr_1> ((p) + (r — 1) xk^ 2) (y) + - -f x r ~ l A (?) 



(>j Sulle operazioni funzionali distributive. Kendiconti della E. Accademia dei 

 Lincei, 17 febbraio 1895. 



( 2 ) Sulle operazioni funzionali distributive, § 7. 



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