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Se dunque è A (y) — 0 , A' (<p) = 0 , ... A. lr ~ 1) ((p) =■ 0 per una medesima 

 funzione <p — xp, sarà anche A (xp) = A (xxp) = ••• A (x r ~ 1 xp) = 0, ed esiste 

 un sistema di soluzioni coniugate: reciprocamente se esiste un tale sistema 

 e quindi una funzione xp tale che sia A (xp) = A (xxp) = — = A (x r ~ 1 xp) = 0, 

 dalla forma delle (2) si conclude che deve essere A' (xp) = A" (xp) = ■■■ 

 A (r - w (V>).= 0.. Talché: 



« Condizione necessaria e sufficiente affinchè un'operazione distributiva A 

 « si annulli per un sistema coniugato di r soluzioni, è che esista una fun- 

 « zione che annulli A e le sue r — 1 prime derivate funzionali » . 



« Come casi particolari si deducono immediatamente le proposizioni del 

 Brassine e del Torelli. Si ammetta dapprima che A sia una forma differen- 



d n 



ziale lineare, e si ricordi ( l ) che la derivata funzionale dell'operazione -j—^ 



o D" è nX) n ~ l , e si ha senz'altro la proposizione del Brassine. Si supponga 

 poi che A sia una forma lineare alle differenze 



F ■== f( x -f n ) -f ttì (x) f(x + n — 1) -f- - a n ^ (x)f(x + 1) + a n (x) f{x) 

 o simbolicamente 



6 n + a y (x) 8 n -' + - + a n -i (x) 6 + a n (x) , 



e si ricordi che la derivata funzionale di O h è hO n ( 2 ), e si avrà che se la F 

 ammette r soluzioni coniugate (che è indifferente di prendere nella forma 

 <p , x<p , x (x -f- 1) (f> , ... data dal Torelli) <p annullerà la P e le derivate 

 funzionali 



P' =n6 n J r a l {x)\n — l) 6 n ~ l -\ \-a n _ 1 (x)6, 



S» = n H n 4- a x (x) (n — l) 2 -f - + «n-i (#) 0 , 



Per dare a questa condizione la forma stessa che vi dà il prof. Torelli, os- 

 serviamo che se P' (x)) = 0 , la forma 



n tì n ~ l + a x (x) {a — 1) 6 n ~- -| f- a n -i {ss) 



sarà annullata per y (x -j- 1) : ma questa è annullata anche per xy (x -f- 1) 

 per ipotesi, onde sarà nulla per <p (x -f- 1) anche la sua derivata funzionale, 

 vale a dire 



n (n — 1) + a, (x) (n — 1) (n — 2) 6 n ~* -j 1- « n _ 2 (x) 6 



e quindi 



n (n — 1) -f ai (x) (ri — l)(n — 2) 0»- 3 -j f- a M _ 2 (a?) 



(!) Ibid. § 9 c. 

 ( 2 ) Ibid. § 9 d. 



