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« 2. Dalle (3) per derivazione covariante secondo la forma fondamen- 

 tale (f si traggono le 



(4) 2 r X k / rs -f- 2 r X h/rs — 0 . 

 « Posto 



(5) ^h/rs ~ 2ij Yhij Mj r Xj /S , 



abbiamo quindi le 



(6) ymj + Ymj — 0 

 e in particolare le 



(6') Yhhj =- 0 . 



« Dalle (5) risulta che i coefficienti Yuj sono invarianti e dalle (6) che 

 essi sono in numero — — essenzialmente distinti. 



u 



« Gli invarianti y hi j sono legati fra loro e coi sistemi coordinati delle n 

 congruenze ortogonali qui considerate, dalle equazioni differenziali 



(7) — ^j^- + 2j Yhij (yjw — Yjih) + s i ÌYpa Yji* — Yfl* Yju) = 



-y JC?> 2 C) ICS) 



-*qrst A h A i A ft A i U>qr , st ) 



in cui con dsi si rappresenta l'elemento d'arco delle linee della congruenza, 

 che ha il sistema X l/r come sistema coordinato covariante, o, come dirò bre- 

 vemente, della congruenza Xi/ r . — Queste equazioni si stabiliscono derivando 

 anche le (5) covariantemente secondo y> e facendo uso delle relazioni note 

 tra le X h/rst e le X h/rts . — Nel caso di n = 2 le (7) si riducono ad una sola; 

 e precisamente alla formola, che dà in coordinate ortogonali la nota espres- 

 sione di Liouville per la curvatura delle superfìcie, di cui \/y> rappresenta 

 l'elemento lineare. 



« 3. Si supponga la varietà gì immersa in una varietà ad n -\~ m di- 

 mensioni, i cui punti, almeno in un intorno C di <p, possano determinarsi 

 mediante le coordinate Xi ,x 2 , ... x n ài <p e mediante altre m coordinate 

 %n+\ > %n+% , ••• x n+m . H quadrato dell'elemento lineare di C avrà una espres- 

 sione della forma 



ip = dxj- dx s , 



i coefficienti a rs pei punti di ^ e per r ed s non maggiori di n, essendo gli 

 stessi, che appariscono nella espressione di g>. Se poi si considera in y> un 

 sistema S ortogonale di congruenze V } K w — ^n r) e si fanno le posizioni 



rì n = x r (A^l,-2,...ii;'r- 1,2 , ...») 



ixf +n =0 (h=l ,2,,..»; r===l,2....'fl») 



