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i sistemi /n h a) , n h m , ... /</j (H+m> rappresenteranno ti congruenze di linee or- 

 togonali fra di loro due a due in C, e tali di più che pei punti della va- 

 rietà (p le loro linee coincidono con quelle del sistema S. Se ad esse, come 



è sempre possibile, si aggiungono altre m congruenze ,a^ 2 ••• or- 

 togonali fra di loro ed alle precedenti si ottiene un sistema di n-\-m con- 

 gruenze ortogonali nella varietà C ad n -f- m dimensioni, e questo sistema è 

 tale che dalle posizioni 



fth/rs — Y hij /'i/ r f^ji s i 



analoghe alle (5) risultano le identità 



r 



7 hij — Yhij i 



tutte le volte che nessuno degli indici h, i, j è maggiore di n. Ne segue che 

 « Gli invarianti y hi j non cambiano valore anche se in vece della forma (p 

 « si considera come forma fondamentale la espressione xp del quadrato del- 

 l' l'elemento lineare di una varietà ad n + m dimensioni, in cui la varietà <f> 

 « si trovi immersa ». 



« Poiché una varietà qualunque può sempre riguardarsi come immersa 

 in uno spazio piano, il teorema precedente conduce ad una interpretazione 

 geometrica assai semplice ed importante per gli invarianti y m . Sia la varietà <p 

 immersa in uno spazio piano S e, scelto ad arbitrio un punto P di cp, si 

 designi con T m il triedro delle tangenti in P alle linee delle congruenze 

 &h/r ìh/r i h/r', con i uno qualunque degli indici h, k, l. — L'invariante ym 

 rappresenta la componente secondo la tangente alla linea X h / r , che passa per P, 

 della rotazione subita dal triedro T m per uno spostamento infinitesimo del 

 suo vertice lungo la linea X;/ r . — In particolare se i coincide con k, si ha che 

 l'invariante ym rappresenta la curvatura della proiezione della linea l h /r sul 

 piano determinato dalle tangenti alla linea stessa ed alla linea Xy r sempre 

 che la direzione positiva di quest'ultima si faccia coincidere con quella della 

 normale positiva alla prima. 



« 4. Dirò ora dei risultati ottenuti applicando le teorie precedentemente 

 esposte alla risoluzione di speciali problemi. 



1.° Si vogliano stabilire le condizioni necessarie e sufficienti perchè le 

 linee di una congruenza definita nella varietà cp mediante il suo sistema 

 coordinato l r risultino ortogonali alle varietà ad b — 1 dimensioni di un 

 sistema qualunque ; analiticamente, perchè gli elementi l r siano proporzionali 

 alle derivate di una funzione delle variabili x x , x t , ... x n - Se per uniformità 

 colle notazioni usate nei §§ precedenti si pongono le K = K/r e con X l / r , 

 X 2/r , ... l n -i/r si denotano gli elementi dei sistemi coordinati covarianti di n — 1 



