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congruenze di linee formanti colla data un sistema ortogonale, le condizioni 

 cercate sono rappresentate dalle equazioni 



Yrikh := Ynhk' 



« Il teorema del § precedente dà poi la interpretazione geometrica di 

 queste condizioni. 



2°. Si ricerchino le condizioni necessarie e sufficienti perchè le linee 

 della congruenza considerata sopra siano geodetiche. Perciò lungo le linee di 

 questa si considerino le variabili x r come funzioni della sola variabile indi- 

 pendente t e si facciano le posizioni 



Xr = ~dt ' s = Tf 



rappresentando con s l'arco delle linee X r . Le (2) assumeranno la forma 

 e, indicando con a rs ,t i noti simboli di Christoffel a tre indici, avremo 



S Ss — 2 rs &r$ Xy Sx$ — {— ^rst (%rs,t <Kr *%s Sxt , 



ovvero 



Ss' = 2 r l r èXr + S' S r ÒXr 2 s t Ort,s ^ * <0 ■ 



Posto 



s = f 1 s' di , 



avremo quindi anche facilmente le 



r\ 



Ss — ds 2 r Sx r 2 S A Cs) X rs . 



Dunque le condizioni cercate sono espresse dalle equazioni 



2 S X^ X rs = 0 , 

 le quali per le (5) assumono la forma 



Yinn = 0 , (« = 1,2, ..n — 1). 



" Si supponga ora che le linee della congruenza X r non siano geodetiche, 

 si ponga 



' t ' inn ' 



assumendo per y il valore positivo, che soddisfa a questa equazione ; e di più 



yX r = 2{ Yinn l'i ir • 



