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È facile riconoscere che le X r ' sono gli elementi del sistema cordinato cova- 

 riante di una congruenza di linee ortogonali a quelle della congruenza X r . 

 Per un punto qualunque P della varietà (p si consideri il vettore di grandezza y 

 e la cui direzione coincide con quella della linea X r ' passante per quel punto; 

 e lo si chiami curvatura geodetica della linea X r passante per P. Si avrà : 



a) Che l'annullarsi identicamente della curvatura geodetica di una 

 congruenza di linee, dà la condizione necessaria e sufficiente perchè queste 

 linee siano geodetiche. 



b) Che per una congruenza di linee non geodetiche la curvatura geo- 

 detica di una linea in un determinato punto è rappresentata da un vettore 

 normale alla linea in quel punto. 



c) Che la proiezione della curvatura geodetica sopra una direzione 

 qualunque r normale alla linea dà la flessione della proiezione di questa sul 

 piano formato dalla linea considerata e dalla direzione r. 



« Per precisare il senso di questi due ultimi enunciati conviene riguar- 

 dare, come è sempre permesso, la varietà <p come immersa in una varietà piana. 



3.° Equazioni fondamentali della Geometria differenziale negli iper- 

 spazi. Ho dimostrato altrove che, data una forma fondamentale y> ad n 

 variabili, perchè questa rappresenti il quadrato dell'elemento lineare di una 

 superfìcie ad n dimensioni, cioè di una varietà immersa in uno spazio piano 

 ad n -+- 1 dimensioni, è necessario e basta che si possa determinare un si- 

 stema doppio simmetrico, i cui elementi b rs soddisfacciano alle equazioni 

 algebriche 



Ì9Ì brt b su — b ru bts = a rs ,tu 



ed alle equazioni a derivate parziali 



(c) b rst = b r u • 



Per n — 2 le forinole (g) e (e) dànno rispettivamente il teorema di Gauss e 

 le forinole di Codazzi ( 1 ). Per n qualunque si perviene collo stesso metodo 

 a forinole, che sono da riguardare come la generalizzazione di quelle, e come 

 fondamentali per la teoria delle superficie negli iperspazi. 



« Per ciò nella varietà proposta y si consideri un sistema di congruenze 



ortogonali lif r , X 2 f r , — K/r e, come è permesso, si determinino — 



quantità to hk = co kh mediante le posizioni 



(/S) b rs = 2 hn Wjik X h/r Xftis . 



f 1 ) Vedasi il capitolo I della mia Memoria Sulla teoria intrinseca delle superficie 

 ed in ispecie di quelle di 2.° grado. (Atti del E. Istituto Veneto di scienze lettere ed 

 arti, serie VII, tomo VI). 



