— 276 — 



« 3. La polarità così stabilita mette in rilievo una certa corrispondenza 

 fra le più note curve invariantive della quartica, mediante la quale esse si 

 organizzano a due a due così che le caratteristiche pluckeriane duali di 

 curve corrispondenti vengono a essere uguali. Cominciamo dalla polohessiana 

 di un punto P ( ! ) (hessiana della cubica polare di P). La polohessiana di P 

 può considerarsi come il luogo di un punto variabile R tale che la coppia 

 di punti PR abbia per conica polare una coppia di rette. Nel nostro S 5 

 l'obbiettiva della polohessiana di P si ottiene evidentemente prendendo l'S 2 

 di seconda specie tangente alla F* nel punto che è l'obbiettivo di P e ta- 

 gliando con questo piano la polare reciproca di Mi rispetto alla : la se- 

 zione corrisponde omograficamente ( 2 ) alla polohessiana di P. Eseguiamo la 

 costruzione duale in S 5 . Dovremo prendere la cE^ , uno dei suoi iperpiani I , 

 1' S 2 che contiene la conica di contatto dell'iperpiano I e costruire la svilup- 

 pabile inviluppo degli iperpiani che passano per 1' S 2 nominato e apparten- 

 gono alla polare reciproca di M| rispetto a Q'. Questa sviluppabile sarà rap- 

 presentata dall' inviluppo di da quella retta variabile la quale associata 

 con una retta fissa (la immagine di I), individua una conica che ha per po- 

 lare una coppia di punti. Ebbene quest'inviluppo non è altro che la K r di 

 Caporali ( 1 ). Mediante quindi la dualità che esiste in S 5 fra le obbiettive 

 della polohessiana e la K r di una retta, è facile passare da proprietà della 

 prima a proprietà della seconda. Così p. es. ai teoremi: la polohessiana è 

 una curva del 3° ordine; se la polohessiana di P passa per P' viceversa 

 la polohessiana di P' passa per P , fanno riscontro quest' altri : la K r 

 è una curva di 3 a classe; se la K r di r tocca r viceversa la K r r di r' 

 tocca r ( y ). 



« 4. L'hessiana della quartica può pensarsi come il luogo di un punto, 

 il quale contato due volte, costituisce una conica la cui polare è una coppia 

 di rette. La sua obbiettiva in S 5 è la sezione di con la polare reciproca 

 di M\ rispetto a Q* ( 3 ). La sviluppabile duale è l'inviluppo dagli iperpiani 

 comuni a (P* e alla polare reciproca di M^, e la sua immagine è evidente- 

 meute l'inviluppo di una retta la quale contata due volte ha per conica po- 

 lare una coppia di punti, cioè la ip di Clebscb. Segue che l'ordine dell'hes- 

 siana è uguale alla classe di ip , che il genere della prima è uguale a quello 

 della seconda, che ip è privo di bitangenti perchè l'hessiana non ha punti 

 doppi, che insomma può enunciarsi il teorema: 



( 1 ) Caporali, Sopra le quartiche piane. Volume delle sue Memorie. 



( 2 ) Segre, Sulla geometria delle coniche di un piano, loc. cit. 



( 3 ) Di qui si ritroverebbe l'ordine dell'hessiana. Perchè tale sezione in S 5 è di 12° or- 

 dine, per cui ha 12 punti comuni con la Ci 4 sezione di un iperpiano con la F. 2 4 , ma la 

 Ci 4 si rappresenta in una conica: dunque l'ordine cercato è 6. 



