— 278 — 



è la G r della retta (cfr. Caporali). Queste due curve sono rappresentate con- 

 temporaneamente dalla forma mista 



(abu) (acu) (bcu) (abc) a x b x c x — 0 



a seconda che vi si faccia x == cost , ovvero u = cost ( 1 ). 



« 7. Analogamente, costruendo in S 5 le polari reciproche rispetto a Q* 

 di quella curva e di quella sviluppabile rappresentate in ti dall'hessiana e 

 dall'inviluppo xp troveremo un'altra sviluppabile (e) e un'altra cuiTa (S) le 

 quali saranno rappresentate in n rispettivamente dall'inviluppo e delle coppie 

 di rette che sono coniche polari dei punti dell'hessiana e dal luogo S di 

 quelle coppie di punti le cui coniche polari sono le tangenti di xp (ognuna 

 contata due volte) : quest'ultimo è il covariante S di Clebsch. La corrispon- 

 denza fra (e) e (S) è biunivoca ma non fra (e) e ff né fra (S) e S perchè 

 gl'iperpiani di (ff) si specchiano in coppie di tangenti di <r e i punti di (S) 

 in coppie di punti di S non dotate di elementi fìssi. Non si può quindi in- 

 ferirne che S e a abbiano le caratteristiche pluckeriane duali uguali. Infatti 

 è noto che S è di 4° ordine: e è di 12 a classe ( 2 ) e non riducibile certamente 

 a una curva tripla di 4 a classe, altrimenti essa, avendo a comune con l'inviluppo 

 equianarmonico le 24 tangenti di flesso della quartica, dovrebbe coincidere 

 con l'inviluppo equianarmonico medesimo il che, si vede facilmente, non può 

 avvenire per una quartica generica ( 3 ). 



« 8. Cade qui opportuno il dimostrare con molta semplicità che il co- 

 variante S è privo di nodi e di cuspidi (cfr. mia prima Memoria). Per questo 

 osserveremo prima, come la sola considerazione della nostra polarità in S 5 ci 

 dice che presa, una conica luogo L , di essa una conica armonica, di questa 

 la polare ; la conica polare di L è armonica a quest'ultima. Nel caso par- 

 ticolare che la conica data sia una retta doppia, ne segue il teorema: 



« / quattro triangoli polohessiani dei 4 punti nei quali una retta 

 taglia il covariante S, sono circoscritti alla conica piotare della retta ». 



« I loro lati costituiscono le 12 tangenti comuni a xp e a tale conica. 

 Ammettiamo ora che esista un punto doppio per S. Ciò significa che qua- 

 lunque retta per quel punto taglia S in tre punti distinti e quindi i 4 trian- 

 goli precedenti sono ridotti a tre, onde tutte quelle rette, ciascuna pensata 

 come doppia, avrebbero una medesima conica polare : cioè quella che tocca ip 

 nei tre punti in cui xp è toccato dal triangolo polohessiano del punto doppio 



( 1 ) Maisano, Sistemi completi dei primi cinque gradi della forma ternaria biqua- 

 dratica ecc. Giornale di Napoli, voi. XIX. 



( 2 ) Cremona, Curve piane, n° 128. 



( 3 ) Per accertarsene si prenda per un vertice del triangolo fondamentale un punto 

 dell'hessiana e per lato opposto una delle due rette in cui si spezza la conica polare del 

 punto preso. — Dopo, si tagli con questa retta la quartica, e si vedrà che la condizione 

 equianarmonica non è genericamente adempiuta. 



