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si vuole " assegnare le irrazionalità più semplici (che debbono comparire nei 

 coefficienti di (j) x y> 2 cp 3 ) da cui può farsi dipendere la effettiva risoluzione 

 anzidetta » . 



« Mi limiterò in questa Nota ad enunciare i principali resultati otte- 

 nuti, rimandando ad un altro lavoro per le dimostrazioni diffuse e per la 

 bibliografìa. 



» Anzitutto debbo fare una osservazione. 



« Allorché la f(xyz) =o è risolubile colle formule (2) si può sempre 

 esprimere x , y , Z mediante funzioni razionali di due parametri con inverti- 

 bilità , cioè in modo che questi parametri risultino alla lor volta funzioni 

 razionali di x y z (Castelnuovo) ; ma tale condizione (verificata per la riso- 

 luzione più generale) può non esser soddisfatta da una particolare risolu- 

 zione (2) della f = o . 



« In tal caso per passare dalla (2) ad una risoluzione della f — o me- 

 diante funzioni razionali invertibili di due parametri, occorrerà in generale 

 introdurre nuove irrazionalità. Perciò il problema proposto comporta una so- 

 luzione- più semplice se si vuole una risoluzione mediante funzioni razionali 

 dell'equazione f=o senza imporre la condizione di invertibilità. 



« Io tratto la questione imponendo la condizione d'invertibilità anzidetta, 

 e faccio soltanto cenno d'una semplificazione che può aversi in un punto ove 

 si prescinda da quella condizione. 



« Ecco il resultato ottenuto : 



« La risoluzione dell'equazione 



f{xyz) = 0 



mediante funzioni razionali invertibili di due parametri (supposta possibile) 

 può sempre effettuarsi con operazioni razionali (di eliminazione), con 

 estrazioni di radicali quadratici e cubici e colla risoluzione di una delle 

 equazioni per la bisezione dell'argomento: 



1) delle funzioni ab eliane di genere 3 ; 



2) o delle funzioni abeliane di genere 4 ; 



3) o delle funzioni iperellittiche di genere p (p = 1 , 2 . . .). 



« È superfluo avvertire che insieme ai tipi menzionati di equazioni 

 debbono considerarsi i loro casi di degenerazione. 

 « Allorché la risoluzione dell'equazione 



f{x yz) = o 



mediante funzioni razionali invertibili di due parametri viene a dipendere 

 dall'equazione 1), si può ottenere ima risoluzione di essa mediante fun- 

 zioni razionali non invertibili, con sole estrazionidi radicali qua- 

 dratici e cubici. 



