— 313 — 



« 2. Un cenno della dimostrazione. Il concetto fondamentale consiste 

 nel trasformare successivamente la superficie razionale 



f{x ys) = o 



(supposta d'ordine n a sezioni non iperellittiche di genere >■ 2) mediante i 

 polinomi d'ordine n — 3 aggiunti ad /'. Si ha così un procedimento di 

 esaustione che ricorre frequentemente in varie questioni nei recenti lavori 

 del sig. Castelnuovo e miei. 



« Questo procedimento completato con qualche osservazione complemen- 

 tare, permette di trasformare ogni superficie razionale senza l'aggiunta di ir- 

 razionalità numeriche (cioè razionalmente) in una delle seguenti: 



I) superficie a sezioni razionali (rigata o superficie di Steiner del 4° 



ordine) ; 



II) superficie a sezioni ellittiche (d'ordine n <. 9), incluso il piano 

 doppio con quartica limite C 4 (n — 2) ; 



III) piano doppio con sestica limite C 6 dotata di due punti tripli in- 

 finitamente vicini, o cono quadrico doppio con sestica limite sezione d'una 

 superficie cubica (che con proiezione da un punto si riduce al nominato piano 

 doppio) ; 



IV) superficie con un fascio (razionale) di coniche. 



« Si possono distribuire sotto questo aspetto le superficie razionali in 

 quattro famiglie, ma quelle della famiglia II) danno luogo a più classi. 



* I. Nel caso I) si ha la rappresentazione piana della superficie (riso- 

 luzione razionale dell'equazione f=o con invertibilità), o razionalmente, o 

 colla semplice estrazione d'un radicale quadratico. 



« II. Nel caso II) si hanno da considerare le superficie di tutti gli or- 

 dini 7i — 2,3,4,5,6,7,8,9. Ma per n~2 (piano doppio con quartica 

 limite) la questione è risoluta (Clebsch) e si sa appunto che basta determi- 

 nare le tangenti doppie della quartica limite, ciò che porta alla bisezione 

 dell'argomento delle funzioni abeliane di genere 3. 



« Per n = 3 la questione si collega allo studio della configurazione 

 delle rette della superficie di 3° ordine, e si riporta alla precedente (Geiser) 

 per proiezione da un punto (risoluzione d'un'equazione di 3° grado). 



" Per n = 4 si ha la superficie del 4° ordine con conica doppia che 

 per proiezione da un punto della conica (estrazione d'un radicale quadratico) 

 si rappresenta sul piano doppio con quartica limite, onde ecc. 



u Per n — 5 la superficie ha una curva doppia del 5° ordine con pulito 

 triplo (Caporali) dal quale viene proiettata (razionalmente) sul piano doppio 

 con quartica limite. 



« Così ai casi « = 2,3,4,5 corrisponde il caso 1) dell'enunciato del 

 § precedente. Ma fondandosi su un procedimento del sig. Castelnuovo (Acc. 



Rendiconti. 1895, Vol. IV, 2° Sem. 43 



