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dei Lincei) si può in tutti questi casi rappresentare razionalmente la super- 

 fìcie sopra una involuzione piana, allorché è dato un punto. 



« Per n = 7 , 8 si può dar sempre razionalmente la rappresentazione 

 piana della superfìcie. 



« Restano da esaminare i casi n = 6 , n = 9 nei quali la questione si 

 riconduce alla determinazione di un punto qualsiasi della superfìcie (perchè 

 le corrispondenti superfìcie normali d'ordine 6 , 8 rispettivamente in S 6 S 9 

 vengono proiettate da un piano tangente in superfìcie a sezioni razionali). 

 Ciò sembrerebbe importare la risoluzione di equazioni del 6° e del 9° grado, 

 ma il problema si può ridurre mediante speciali considerazioni alla risolu- 

 zione di un'equazione di 3° e una di 2° grado nel primo caso, ed alla riso- 

 luzione di un'equazione di 4° e di una di 3° grado nel secondo caso. 



e Per n — 6, n — 9, si ha dunque la rappresentazione piana della cor- 

 rispondente superfìcie, effettuando soltanto estrazioni di radicali quadratici e 

 cubici. 



« III. Nel caso III) la rappresentazione del piano doppio con sestica 

 limite C 6 con 2 punti 3pli infinitamente vicini sul piano semplice, è data 

 dal sig. Noether mediante la determinazione delle coniche tritangenti a C 6 

 passanti pei suoi due punti tripli (equazione per la bisezione dell'argomento 

 delle funzioni abeliane di genere 4 inerenti a C 6 ). 



« IV. La rappresentazione piana delle superfìcie con un fascio razio- 

 nale di coniche è data dal sig. Noether costruendo una unisecante del fascio, 

 con un metodo che non lascia subito vedere da quali irrazionalità dipenda 

 la rappresentazione; ma si può notare che la superfìcie si rappresenta ra- 

 zionalmente (con una conveniente proiezione) sul piano doppio con curva li- 

 mite G 2n d'ordine 2n dotata di punto (2n — 2)plo , ed allora la costruzione 

 di quella unisecante (e quindi la rappresentazione della superfìcie sul piano 

 semplice) si può far dipendere dalla determinazione di curve aggiunte a C ìn 

 che la tocchino in ogni punto ove la segano, e quindi dall'equazione per la 

 bisezione dell'argomento delle funzioni iperellittiche inerenti a C 2n . 



« 3. Si abbia ora l'equazione in 4 variabili 



f X% Xz Xi) ■ — • o 

 e suppongasi che le equazioni 



f (%i x 2 x 3 a) = - o 



ottenute dando ad x± un valore costante sieno risolubili con funzioni razio- 

 nali di due parametri ; nei coefficienti di queste funzioni entrano in generale 

 delle irrazionalità che vengono a dipendere da x é . 



e I resultati ottenuti (§1) ci permettono di precisare la natura di 

 queste irrazionalità. Ma pensando alla riduzione del § 2 si può anche enun- 

 ciare il teorema: 



