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e Se le equazioni 



f (x x x 2 x 3 a) — o 



{dove a è una costante arbitraria) possono risolversi con funzioni razio- 

 nali di due parametri, si può sem,pre risolvere la 



f(X\ X% X 3 X4) — 0 



ponendo X\ x% x 3 funzioni irrazionali di due parametri u , v e di x^ , 

 dove la irrazionalità dipende soltanto da estrazioni di radicali quadra- 

 tici e cubici, 



« Geometricamente (coli' uso di considerazioni complementari) si ha: 



« Se una varietà algebrica V di tre dimensioni contiene un fascio 

 lineare di superficie razionali, essa può rappresentarsi punto per punto 



1) sullo S 3 in modo che le immagini delle superficie razionali del 

 fascio sieno i piani per una retta; 



2) 0 sullo spazio doppio (S 3 ) con superficie limite F d'ordine 2n, 

 in modo che le superficie del fascio su V abbiano per immagini i piani 

 (doppi) passanti per una retta: 



a) (2n — 4)pla per F ; 



b) 0 (2n — 6)pla per F contenente due punti (2n — 3)pli infinita- 

 mente vicini di F ; 



c) 0 contenenti un punto (2n — 2)plo per F ; 



3) 0 sopra -una varietà con fascio di sezioni iperpiane normali 

 immagini delle superficie razionali date su Y), superficie: 



a) d'ordine 3 in S 3 ; 



b) 0 d'ordine 6 in S 6 ; 



c) 0 d'ordine 9 in S 9 . 



« Non è escluso che si possa avere una riduzione ulteriore ; ma si può 

 escludere (con esempi) che si possa sempre rappresentare la varietà V su S 3 

 nel modo 1): ciò lascia impregiudicata la questione della razionalità di V, 

 la quale questione viene risoluta affermativamente solo in alcuni casi. 



« 4. Non sarà inutile accennare a riduzioni ulteriori che possono otte- 

 nersi in un caso notevole. 



Allorché si possono determinare tre funzioni razionali x x = x x [xa) , 

 x 2 — Xz {x±) , x 3 — x 3 (X4) del parametro . che soddisfino identicamente 

 all'equazione 



(1) f(xi x 2 x 3 x 4 ) = 0 , 



si può sempre (nella precedente ipotesi che le equazioni f (x\ x% x 3 a) — 0 

 sieno risolubili per funzioni razionali di due parametri) risolvere la (1) po- 

 nendo Xi x% x 3 funzioni razionali invertibili di due parametri u , v di x^ , e 

 di un radicale ]/(p(uvXi) portante sopra un polinomio (di particola!- forma) 



