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tratti (a /S) , (aj ... (a n fi n ) e tali di più, che indicando con (x , X\ ... x n ), 

 (x , x\ ... x' n ) due punti del campo ad n -j- 1 dimensioni così individuato, 

 corrispondenti al medesimo valore della variabile x , siano soddisfatte le 

 disuguaglianze fondamentali di Lipschitz : 



» 



(2) \Xi(x ,x\ ...x' n ) — Xi(x,Xi... x„)\<C^y \x s — x s \ 



T 



dove A è una costante positiva finita. 



« In tale ipotesi il metodo di approssimazioni successive del Picard di- 

 mostra l'esistenza di n funzioni della variabile x , integrali 

 delle (1) e tali che in un punto arbitrario x 0 dell'intervallo prendono 

 valori arbitrari, x\...x° n , compresi rispettivamente nei tratti (a l p 1 )...(a n fi n ). 

 Questi valori iniziali x\ ... x° n dai quali, oltreché dalla variabile x , dipen- 

 dono gli integrali x l ... x n , sono le n costanti arbitrarie, che figurano nello 

 integrale generale delle equazioni (1). 



« È interessante studiare in qual modo dipendano gli integrali così 

 trovati dai loro valori iniziali ; e noi dimostreremo innanzi tutto il teorema : 

 Nelle ipotesi fatte, gli integrali sono funzioni finite 

 e continue dei loro valori iniziali. 



« Ricordiamo perciò in breve il metodo di Picard per l'integrazione 

 delle (1). Ponendo : 



=mx,*: ... *: > ; *? + f *r ** \ 



e quindi I 



. X ( a) = X, (x , ... <") ; x? = x\ + fxf dx ) (a) 



e in generale i 

 X? = X<(*, x? ... xf) ; xff = x\+ Pxf dx 



si dimostra che 



1° limitando la variabilità di x in un intervallo conveniente (yà), 

 interno ad (a/?) e che comprende x 0 nel suo interno, ciascuno dei punti 

 (x , x 1 ® ... x^) (k = 1 , 2 ....) che successivamente si ottengono, è interno al 

 campo ad n -f- 1 dimensioni, dove le ipotesi fondamentali sulle funzioni X; 

 sono soddisfatte; 



2° le serie 



(3) x? + (*f - x?) + ... + (*r>- xf- 1 ') + .... + ... 



convergono uniformemente nel campo stesso e rappresentano gli integrali 

 cercati. 



« Conviene riportare quest'ultima parte della dimostrazione. Poniamo 

 perciò per brevità x 0 = 0 e indichiamo con L il massimo valore assoluto 



