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delle X £ nel campo dato, con x il valore assoluto della x. Avremo allora, 



x s 



avendo riguardo alle (2): 



\^-^\<Lx; \^-x^\<Lkn^; [*f >-#f> |<L A^^--- 

 e in generale 



(4) 



■x) 



x n 



come si dimostra subito coll'induzione completa. 



« Ne segue che le serie (3) sono confrontabili coll'altra 



x' 



(5) L p + A ^ + A2W2 IT2^ 



.... + A 



i-i iL_| \ 



k\ 



e quindi convergono in ugual grado nel campo considerato, donde segue poi 

 che le loro somme sono gli integrali cercati. 



« Si osservi ora che in questa dimostrazione non è entrata affatto l'ipo- 

 tesi che le x\ ... x° n siano delle costanti : qualunque siano questi valori ini- 

 ziali e comunque variino nel campo dato, le serie (3) sono sempre confron- 

 tabili colla (5): esse quindi convergono in ugual grado anche quando in 

 esse si considerino come variabili, oltre la x , i valori iniziali 

 Ne segue che le loro somme, cioè gli integrali cercati, sono funzioni finite 

 e continue delle n-\-l variabili x , x\ ... x° n e ciò dimostra il teorema 

 enunciato. 



7)X- 



« 2. Si supponga ora che le X; abbiano anche le derivate parziali — - 



(i,r = l,...n) finite e continue nel campo considerato, le quali in questo 

 campo soddisfino a disuguaglianze analoghe alle (2): supponiamo cioè che 

 si abbia 



(6) 



"t^X; , , , s ~t>X t - , .1 . . , 



[ X , X i . . . X n ) \X , X\ ... Xii)\ < \ -A-i / I X 5 Xs 



~òX-y ~òXr a s 



dove A! è una costante positiva. È allora facile dimostrare che: 



Gli integrali x 1 ,... 1 'x n ammetteranno le derivate prime 

 rispetto ai valori iniziali, finite e continue. 



7)Xi 



« Si osservi infatti che a causa delle (2) si ha sempre 

 quindi per le (a) sarà : 



~òXr 



<A 



ci) 



~~òx r 



~òx\ 



~ÒX' 



™0 



< kx 



<A i + ,A^ 



per i 



ÒX r ; 



Tufi 



(2) 



~òx, 



~ÒXì 



< 1 + kx 



< 1 -f- kx-\- nk 2 



1.2 



