— 320 — 



(10) 



<Aft " l72?£ (ÌTT)! J* MLAl * + A ^ 



Ne segue che le serie derivate delle (3): 



~ÒXj | / ÌXj \ i i / ~ÒXj } 



o meglio, le serie dei loro massimi valori assoluti sono confrontabili colla 

 serie : 



S = > A*-'w» , , 1X , j/^MLA. + AM 

 V ft (A+l)! 



la quale, come immediatamente si verifica, converge in tutto il piano 

 Le serie (11) convergono dunque uniformemente nel campo considerato e le 

 loro somme sono funzioni finite e continue delle x , x\ ... x a n , e rappresentano 



le derivate . 



« Abbiamo dunque il teorema: 

 Se le funzioni X; hanno nel campo considerato le de- 



UX- 



rivate parziali — 1 finite e continue e che soddisfino alle 



disuguaglianze fondamentali di Lipschitz, gli integrali 

 delle (1), dati dal metodo delle approssimazioni succes- 

 sive, sono funzioni finite e continue della x e dei valori 

 iniziali x\..,x\ ed ammettono rispetto a questi valori ini- 

 ziali le derivate prime, anche esse finite e continue. Que- 

 ste derivate si ottengono derivando termine a termine le 

 serie (3) rispetto ai valori iniziali. 



« 3. Si ammetta ora che le X; abbiano le derivate parziali seconde 



Ì 2 X ; 



finite e continue e che soddisfino alle disuguaglianze: 



n 



A2 ^ \x t — Xt\ 



no\ ^ 2 X; , , t , ~ò' 2 X; . . 



Lù) \X , X 1 ... X n) _ ' X , X\ , ... Xn) 



I oXf dX$ òXf vX$ 



in tal caso gli integrali avranno le derivate seconde rispetto ai valori ini- 

 ziali, finite e continue. 



« Indicando infatti con P la maggiore delle quantità L , M , A , Ai si 

 dimostra facilmente la disuguaglianza 



(13) 



<?*\nx + 2>i> P f- 2 + •••• + (k - 1) P*- 2 J + 



nnH— 1 TD7j ytH 



