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e quindi anche, indicando con Q una quantità finita 



(14) 



<Q 



donde, tenendo conto delle (12) e tornando a chiamare P la maggiore delle 

 quantità P , A 2 , Q si perviene facilmente all'altra disuguaglianza 



(15) 



0 Ubi Ci i*j ^ 7, t-h, Jit 



<»*P*|j |l+-3F(i — 1) + »P*(A — 1)' 



donde segue che le serie, che si ottengono dalle (3) derivandole due volte 

 termine a termine convergono in ugual grado nel campo dato, e ciò dimostra 

 quello che si era affermato. 



« Il medesimo processo dimostra più in generale il teorema: 

 Se le funzioni X; hanno nel campo considerato le de- 

 rivate parziali di ordine p rispetto alle X\...x n , finite e 

 continue, e tali che i loro rapporti incrementali siano 

 finiti, gli integrali delle (1) dati dalle (3) avranno le 

 derivate p me rispetto ai valori iniziali finite e continue, e 

 queste derivate p me si otterranno derivando p volte ter- 

 mine a termine le serie (3). 



a Da questo teorema generale come caso particolare, si ottiene l'altro: 

 Se le funzioni X ; sono funzioni analitiche degli argo- 

 menti Xi...x n , gli integrali saranno funzioni analitiche dei 

 loro valori iniziali. 



« 4. Il teorema dimostrato al n. 2 ha im'applicazione importante alla 

 teoria delle equazioni lineari omogenee a derivate parziali del 1° ordine. 



« E noto infatti che l'integrazione delle (1) è equivalente all'integra- 

 zione dell'equazione 



(16) — + Z .Xi^f=0 



~ÒX £ * ~òXi 



poiché, presi gli n integrali x x ... x n delle (1), e risolutili rispetto ai valori 

 iniziali (il che è possibile, poiché le derivate esistono ed il loro de- 

 terminante è diverso da zero), le relazioni che così si ottengono 



(17) fi(x , x , ... x n ) = x\ (*.•= 1 ... n) 



danno nei loro primi membri gli integrali indipendenti della equazione (16), 

 che così è integrata completamente. Ne risulta una dimostrazione dell' esi- 

 stenza dell'integrale generale delle (16), ottenuta mediante approssimazioni 

 successive, sotto ipotesi molto, più generali che non quelle che si richiedono 

 nella dimostrazione ordinaria, dove è necessario supporre che le funzioni Xi 

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