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siano funzioni analitiche dei loro argomenti e che tale sia ancora la fun- 

 zione iniziale arbitraria. 11 teorema di esistenza dell' integrale generale 

 della (16) può dunque enunciarsi: 



L'equazione lineare omogenea del 1° ordine 



(16*) 



0 



nella quale le funzioni X t - sono finite e continue in tutti i 

 loro argomenti e ammettono rispetto ad n — 1 di essi x x ...x n 

 le derivate parziali prime finite e continue e che soddisfino 

 inoltre alle disuguaglianze fondamentali 



"ì*Xt , , , 7)X; , 



\X 5 X \ ... X yij yX , X\ ... Xy\) 



<AY, \x' t — x%\ 



ammette un integrale f (x , x x ...x n ) che per x = x 0 si riducead 

 una funzione arbitraria y> (Xi ... x n ) delle n variabili %\...x n , 

 finita e continua in queste variabili ('). 



« Si osservi ancora che ogni sistema delle funzioni xf } che successiva- 

 mente si ottengono nell'integrazione delle (1), è risolubile rispetto ai valori 

 iniziali e le relazioni che così si ottengono 



(18) 



n 



™0 



danno nei loro primi membri n integrali indipendenti di un'equazione lineare 

 omogenea del primo ordine. Si osservi infatti che le Xf _1) sono funzioni note 

 della x e dei valori iniziali x\ ... x° n e quindi per le (18) anche funzioni note 



delle x , x\ 



x 



avendosi inoltre 



dx? = Xf~ 1) & 

 si avrà che ognuna delle f\ k) è un integrale dell'equazione lineare 



< 19 > ^ + 1,^-^=0 



dove le X- ft_1) si intendano espresse per le x , x? ... x? . In tal modo il 

 metodo delle approssimazioni successive riattacca ad ogni equazione lineare 

 omogenea del 1° ordine una serie infinita di equazioni analoghe, il cui. in- 

 tegrai generale è noto insieme con quello dell'equazione data. 



(*) Cf. Goursat, Légons sur les équations aux dérivées partielles du premier ordr e, 

 pag. 37. 



