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* Si osservi finalmente che le funzioni ff 1 che successivamente si ot- 

 tengono, considerate come funzioni delle n-\- 1 variabili indipendenti x, x x ... x n , 

 tendono uniformemente ai loro limiti f\ , f 2 ... f n integrali della (16) e di 

 qui si deduce un metodo diretto d'integrazione della (16) per approssima- 

 zioni successive ( ! ). 



« 5. Il teorema del numero antecedente dimostra anche, come mi ha fatto 

 osservare il prof. Bianchi, l'unicità degli integrali delle (1), quando ne siano 

 assegnati i valori iniziali. Poiché infatti un integrale della (16) si riduce 

 identicamente uguale aduna costante, quando in esso si pongano per X\...x n 

 gli integrali delle (1); indicando con fi , f % ... /„ n integrali indipendenti 



della (16), tali cioè che il determinante funzionale f,^ 1 ^ "' sia diverso 



CI \ X\ x% ... x n ) 



da zero, gli integrali delle (1) che per x — x 0 prendono i valori iniziali 

 x\ ... Xn , dovranno soddisfare alle relazioni 



(20) f (x , x x ... x n ) — fi (x 0 , x\ ... x° n ) (i = 1 , 2 ... n) 



dalle quali le Xi , x% ... x n sono definite in modo unico in fun- 

 zione di x e dei loro valori iniziali. 



(') Si osservi infatti il teorema generale, di cui ometto per brevità la dimostrazione: 

 Siano n funzioni indipendenti 



{<£) yf? — fr(Xi, (Bt , ... -X» , m) {r=\...n) 



di n variabili indipendenti x, ... x n e che dipendono anche da un parametro a, il quale 

 percorra tutti i punti di un gruppo di prima specie 



(b) • ai , a* ... a n ... 



avente un unico punto limite a^: e per ogni valore del parametro a che si considerale 

 funzioni ?/ c<) corrispondenti siano finite e continue nelle x insieme colle loro derivate 

 prime ed avvicinandosi il punto a al punto limite a x , tendano uniformemente, esse e le 

 loro derivate prime, ad n funzioni indipendenti delle x, Y t Y 2 ... Y n ed alle loro derivate 

 prime; siano tali cioè che le serie: 



(c) & * (y<« - y<*>) -+- - -+- (y<« - - - 



r 



~òx t \ iXt ~òx t 



/ V ì)X t ixt ) 



convergano uniformemente nel campo considerato. Allora, se da ogni gruppo di funzioni 

 y& corrispondenti al valore del parametro a si traggono le x in funzione delle n va- 

 riabili y, le funzioni x w così definite, godono delle medesime proprietà delle funzioni y& 

 delle x, cioè le serie 



(e) *? , -*-{«f , -*f l >) -4- •••-+-(*#» 



ìx^ /U^>_ixj^\ / ìx\ k) ìx?-" \ 



\ òy r ~ ìy r / ~\ ìy r ~ ìy r ) 



(/) 



}y r 



convergono anche esse in ugual grado e le loro somme sono le funzioni Xi tratte dalle Y r 

 e le loro derivate. 



