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genea di altezza £ , di raggio a e di densità 1 , sul punto 3,r,& ed è quindi 

 evidente (') che si può addirittura farvi == 0, dopo di che otterremo: 



V(i,r) = ,«(£) rft f 



— C) 2 + a 2 + r * — 2 ar cos T 



(i (l) de, — e, ponendo 



J -oo J 0 y(s — l,Y -J- a 1 -|- r 2 — 2ar cos t 



t = 2g> , verrà come espressione definitiva : 



V ( S , r) = P ,a (0 dC fi. 4 ^ , la 



J - -A y (£ — £) 2 + r) 2 — 4ar sen 2 y> 



(') Se si volesse proprio la conferma analitica che un integrale del tipo 



eh 



r 



— £) 2 + a 2 + r 2 — 2ar cos (r — d) 



non dipende da si potrebbe procedere nel modo seguente: 



Dall'identità: 



(2 - 0 2 + « 2 + , 2 - 2ar cos <r - ») J ^ ~ ^ + + '>' + ^ ~ ^ + ^ " tf + 



Mg — C)' + (g + r)' C) 2 + («— H 2 ? 2 o - 0 2 + (g + y)' + V ( g - 0° + fg - H I 



( J j '~ 2 ( 2 ! 



t/(2 - C) a + + *•)' ~ V(* — O 2 + (« - r)* \ , 



^ COS (T — ») , 



apparisce che ponendo : 



V(z - C) 2 + (a + r °- - Y(z - Q 2 + (« - ^ , ^ t 

 a === ' _ /-— — ~ (« < 1. per 2 , r non 



\{z - ?J 2 + (a + r) 2 + f (2 - f) 2 + {a - r) 2 



contemporaneamente eguali a ? , a), il nostro integrale può essere scritto : 



T 2T[ eh 



J 0 j/(2 - ?) 2 + a 8 + r* - 2ar cos (r — ») 



4 r 27r rfr 



! l/(2 - ?) 2 + (a + ''') 2 + tf* - ?) 3 + (a - rf \ J 0 V' 1 + « 2 - 2« cos (r - *) 



Siccome si è notato che, nei punti esterni alla circonferenza potenziante, a <C 1, il 

 radicale sotto il segno è sviluppabile in serie di potenze e precisamente si avrà, come è 

 ben noto: 



1 00 

 / — = "V u n P n j cos (r — #)! , P n essendo simbolo 



V 1 + « 2 — 2« cos (r — ») ^jn 1 ^ ;i 



della funzione sferica d'indice n. Ora si sa pure dalla teoria delle funzioni sferiche che: 



n 



P n { cos (r — $■)} — "V a ft , v cos »' (t — .9-) colle a costanti; ne viene che, quando si ese- 



0 v 



1 



guisce, rispetto a t, l'integrazione di , - fra 0 e 2n , i termini 



y 1 -)- fi 2 — 2 « cos Cr — 5-) 



contenenti coseni (*' > 0) danno risultato nullo e il valore dell'integrale riesce, come si 



era asserito, indipendente da 9-. 



