« Operando nello stesso modo sulle (5), (9), (11), (13) si otterrà la equazione 

 differenziale lineare del quarto ordine: 



(17) ziv_4-6pz'"-^ (±p'+llp*+kq) z"-+- [p r '+7pp'-+.G p 3+l m +l ì ( q '+2pq)]z'-+- 



+ k[(q'-+-2pq)' + 3p{q' + 2pq)]z + l 3 q%z = 0 

 quando sussista la: 



(18) o (z) + hty {z) a (z) + (z) + h P(z)zr+- k ^(z)z = 0. 



Nello stesso modo ed alle stesse condizioni si avranno equazioni differenziali in z di 

 più alto ordine. 



« Queste equazioni differenziali per certi valori particolari dei coefficienti numerici 

 l 0 . hi h- sono già note; per esempio se nella (15) si suppongono l 0 = 4 , li = 2 

 la z che soddisfa quella equazione è una forma quadratica a coefficienti costanti degli 

 integrali fondamentali yi,.y%: se nella (17), ^ 0 = 10 , ^ = 10, 1^ = 3, ? 3 = 9 la z 

 è una forma cubica degli stessi integrali e così via. 



« 2.° Applichiamo questi risultati alla ricerca di talune equazioni differenziali 

 lineari che si incontrano nella teorica delle funzioni elittiche. Indicheremo con x 

 l'invariante assoluto, ossia: 



4 (l_ft*_,-fc*) 3 



x = 



27 /c 4 /c' 4 



e con z la espressione : 



< 19 > --''.*$)' 



nelle quali le X, ),' , k, U , (i == ^- hanno le indicazioni date a quelle lettere da Jacobi. 



« E noto che nella trasformazione del quinto ordine la relazione (2) fra x e z 

 si presenta sotto l'ima o l'altra delle seguenti forme: 



( 20 ) 00= T7Ù _r. . 1— OC 



12 3 . z° ' 12 3 . 3 6 



nelle quali: 



P = z 12 — 10z 6 + 5, Q = 3 u__22* 6 -*- 125, R^ 5 i2_ 4z 6_ 1 

 « Dalla prima di esse si ha tosto : 

 dx P 2 



dz 12 3 . 



e siccome: 



si giungerà alla: 



dP 



z^f- — 2P = 10R 

 dz 



dx 5 P 2 R 



dz 



«D'altra parte dalle (20) si ottiene che: 



i 



sarà quindi: 



(21) 60 1/ 3 . ^ 1/ Y^x .z=r- — Q 1 



