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posto : 



dy % e/ 2 Ut dy x ffiM 



, x C . v ' dà dz % dz dz* 



( 4 ) 9(«) = — 777 77T, 



^ir^ar ^ — 



Differenziando ora logaritmicamente la prima delle (3) si ottiene la: 



(5) ' - z" -t- p z' = (X (2) Z' 2 



nella quale: 



(S> «W = ^ 



e differenziando di nuovo la penultima si avrà : 



z'" -+-pz" + p' z' = a' (z) z' 3 2 «• (z) z' z" 

 ed aggiungendo a' questa la penultima stessa moltiplicata per 2p si giungerà alla 



(7) z" 3p z" -+- (p' -1- 2p 2 ) »' = & (z) z' 3 

 essendo : 



(8) &(z) = «'(z) + 2a 2 (z). 



Ripetendo la stessa operazione, differenziando cioè la (7) ed aggiungendo al risultato 

 la (7) medesima moltiplicata per 3p si avrà: 



(9) giv -+- 6pz'" + (4 p' -+- 1 1 p 2 ) z" — t— (p" -+- 7 pp' -+- 6 p 3 ) z' = c (z) z' 4 

 posto : 



(10) c(z) = b' (z) + 3b(z)a(z) 

 c così di seguito. 



« D'altra parte dalla seconda delle (3) si deduce la: 



q' = <P'(z)z'^ 2<p (z) z' z" 

 e se a questa si aggiunge il valore di q moltiplicato per 2p si avrà, per la (5), 



(11) q h- 2pq = a (z) z' 3 

 nella quale : 



(12) <x(z) = <p , {z)+2<p(z)a(z). 

 « Analogamente si otterrà: 



(13) (q r ■+» 2p ?)"' 3p (g' -+-2pq) = B (z) z' 4 



dove : 



(14) /3(z) = «'(z)-+-3a(z)a(z) 



c le altre che derivano dal ripetere la stessa operazione. 



« Sieno ora l 0 , l it dei coefficienti numerici ; le equazioni differenziali (7) (11) 

 ed il valore di q conducono tosto alla: 



z'" '■+■ 3p z" — t— (/+ 2 p l i 0 ?) z' ■+■ 2 p $) z — 



=^\b(z)^-l 0 <p{z)-^l 1 zc<(z)]z'* 

 ossia la z soddisferà la equazione differenziale lineare del terzo ordine: 



(15) z r " + 3p z" + (p' + 2 p* + l»q) z' + k (q' 2pq) z = 0 

 se fra le funzioni <p (z), <p (z) sussiste la relazione : 



(16) b{z)-^l 0 ^{z)^-l ì s(x{z) = 0. 



Transunti — Vol. VI° 6 



