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poi in ciascuna figura infiniti di questi punti singolari , appartenenti tutti ad una 

 retta, o ad un piano, o pure infiniti di questi piani singolari appartenenti tutti ad 

 una retta, o ad un punto, secondo che si annullino tutt' i determinati minori di 3° 

 o di 2° ordine del discriminante dell'una o dell'altra delle due forme congiunte ; 

 in questi casi speciali si decompone in due fattori di primo grado o la forma con- 

 giunta, o la forma intermedia, o la forma bilineare proposta. 



« Nella correlazione delle due figure vi è una superficie di 2° ordine, luogo dei 

 punti ai quali appartengono i piani corrispondenti, ed una superficie di 2 a classe 

 inviluppo dei piani ai quali appartengono i punti corrispondenti , in doppio modo, 

 passando cioè dalla prima figura alla seconda, e dalla seconda figura alla prima; 

 queste superficie le dico super fida fondamentali della correlazione ; ai punti , ai 

 piani tangenti, alle generatrici rettilinee (dell'uno o dell'altro sistema) di ciascuna 

 delle due superficie fondamentali corrispondono rispettivamente nella correlazione, 

 in doppio modo, i piani tangenti, i punti, e le generatrici rettilinee (dell'uno o 

 dell'altro sistema) dell'altra superficie fondamentale. Vi sono due complessi lineari 

 di rette per mezzo dei quali si possono costruire facilmente, per ogni punto, o per 

 ogni piano, appartenente all'una o all'altra delle due superficie fondamentali, i piani, 

 o i punti corrispondenti in doppio modo nella correlazione. Le due superficie fon- 

 damentali hanno quattro generatrici rettilinee (reali o immaginarie) di comune (due 

 di un sistema e due dell'altro sistema) , costituenti un quadrilatero gobbo ; i vertici 

 e le facce di questo quadrilatero sono elementi involulorii della correlazione, punti 

 o piani cioè, per ciascuno dei quali i due piani, o i due punti, che gli corrispon- 

 dono in doppio modo nella correlazione sono tra loro coincidenti. La determinazione 

 dei punti, o dei piani involutorii dipende dalla risoluzione dell'una o dell' altra di 

 due equazioni di 4° grado, a radici reciproche : ai diversi casi di eguaglianza tra 

 queste radici corrispondono i casi speciali della correlazione ; i più notevoli sono 

 quelli nei quali, 1° sono involutorii tutt' i punti appartenenti ad una delle diagonali 

 del quadrilatero involutorio, e sono involutorii tutt' i piani appartenenti all' altra 

 diagonale; 2° sono involutorii tutt' i punti e tutt' i piani dello spazio; in tal caso 

 le due superficie fondamentali ne costituiscono una sola, rispetto alla quale un punto 

 ed il piano corrispondente nella correlazione sono polo e polare ; 3° è involutorio 

 ogni punto di una delle due diagonali del quadrilatero involutorio, col piano corri- 

 spondente nella correlazione , involutorio, che passa per quel punto e per l'altra 

 diagonale ; in tal caso una delle due superficie fondamentali si riduce ad una coppia 

 di piani, e l'altra si riduce ad una coppia di punti : 4° è involutorio ogni punto ed 

 ogni piano dello spazio, col piano corrispondente che passa pel punto , ed il punto 

 corrispondente che cade nel piano ; in tal caso le due superficie fondamentali sono 

 indeterminate; un punto ed il piano corrispondente nella correlazione non sono che un 

 punto ed il piano corrispondente in un complesso lineare di rette ; 5° finalmente un 

 caso notevole è quello nel quale le due superficie fondamentali coincidendo in uua 

 sola, vi è tuttavia su di questa uno speciale quadrilatero costituito da due coppie 

 di generatrici rettilinee dei due sistemi, e sono involutorii tutt' i punti e tutt'i piani 

 appartenenti all' una o all'altra delle due generatrici della prima, o della seconda coppia. 



« Vi sono infinite coppie di complessi di rette di 2° grado, che sono involu- 



