mente i coefficienti dell'equazione algebrica avente a radici le 

 derivate logaritmiche di quelle soluzioni, cioè i rapporti 



y\ y°i y>n 



Infatti, derivando successivamente la equazione 



quante volte si voglia, si otterranno altrettante nuove equazioni nei primi membri 

 delle quali compariranno soltanto termini della forma y^ (A ^y4 / ^. . .yJ v ' m K E se, di 

 mano in mano che compariranno derivate n\ si surrogheranno colle espressioni che ne 

 somministra la equazione differenziale, gli indici «\, ccì, <x m resteranno sempre infe- 

 riori ad n. Perciò il numero dei termini dissimili tra loro, cioè contenenti derivate almeno 

 in parte tra loro diverse, resterà finito. Quindi, derivando un sufficiente numero di 

 volte, si avranno tante equazioni quante ne bisognano per ricavare dalle medesime 

 i valori dei detti termini, o dei gruppi simmetrici che i medesimi formeranno, es- 

 sendo già simmetrico il termine primitivo yy y± ... j/,„. Ma fra questi gruppi vi hanno 

 anche gli n seguenti (') 



,v y'x z2 y'i y\ „y\y\ •••*/«<. 



y\ 2/12/2 y\yt---y m 



dunque anche questi si potranno esprimere razionalmente coi secondi membri z, z\ z", ... 

 delle equazioni e coi coefficienti dei primi membri ; i quali saranno formati razional- 

 mente coi coefficienti p l} p%, .... p n e loro derivate. 

 « Ora aggiungo qualche osservazione. 



« Osserv. l. a Questa dimostrazione sembrami valere anche se z significasse, non 

 semplicemente il prodotto delle soluzioni, ma il prodotto stesso moltiplicato per una 

 funzione intera qualunque, simmetrica o no, delle soluzioni. Perocché, considerando 

 un termine qualsivoglia 



/i/l —••9». 



di così fatta nuova z, tutti i termini che possono provenire da questo per derivazione 

 e sostituzione di — pi*/" -1 ^ — ... — p n y ad ogni y( n ), sono della forma 



n i/ s y' s y/ n ~^ 



dove 



e quindi il numero dei termini dissimili che dal medesimo possono provenire è finito, 

 e precisamente eguale ad Ni. N 2 ... N m , se con N s s'intenda il numero dei diversi si- 

 stemi di valori interi e positivi o nulli delle \ che soddisfanno quest'ultima equazione. 

 « Osserv. 2. a In riguardo all'opportunità avvertita nel § II. della mia Nota, di 



(') Con ^ — s'intende significare la somma dei rapporti (2), con 1 V-ìJLi la somma dei pro- 

 Vi Vi Vi 

 dotti due a due ecc. 



