Il metodo del Da Rio? si potrebbe facilmente trasportare a casi ana- 

 loghi; in particolare alle derivate di un potenziale di linea. 



È tuttavia preferibile riprendere la ricerca ab initio, sostituendo all'in- 

 dagine diretta delle tre componenti dell'attrazione quella di un unico ele- 

 mento : il relativo potenziale V. Con opportuna trasformazione vien fatto di 

 distinguere nella funzione sotto il segno una parte principale ed un termine 

 complementare, il contributo del quale si mantiene finito assieme alle sue 

 prime derivate, anche quando il punto potenziato si avvicina indefinitamente 

 alla linea potenziarle. 



Eseguendo la effettiva integrazione della parte principale, e riducendo, 

 si ha una espressione, asintotica V (o> del potenziale V, atta alla derivazione, 

 tale cioè che non soltanto la differenza V — V (a) , ma anche le derivate di 

 V — V (a) si mantengono finite. Ciò vai quanto dire che le derivate di V (a ' 

 forniscono senz'altro le cercate espressioni asintotiche delle componenti del- 

 l'attrazione ('). 



Con questo procedimento si ha il vantaggio che tutto è sostanzialmente 

 riassunto in una formula unica, l'eguaglianza asintotica V = V (a) , da cui 

 discendono come corollari immediati le particolarizzazioni e combinazioni, 

 che interessano dal punto di vista idrodinamico od elettrodinamico. 



Ho così ritrovato, a titolo di esempio, le espressioni asintotiche dovute 

 al Da Rios. Seguirà prossimamente un'applicazione ai campi elettromagne- 

 tici puri. 



1. Preliminari. — Sia L una liena materiale (aperta o chiusa); 0 un 

 suo punto qualunque; X un tratto non nullo di L, avente uno degli estremi 

 in 0 ; X* un analogo tratto in verso opposto a partire da 0 , coll'ovvia av- 

 vertenza che X* viene a mancare, qualora 0 sia un estremo di L. 



Diciamo A ciò che resta di L, quando se ne tolgono i tratti X e X* 

 (il solo X, se 0 è un estremo); dL un generico elemento della linea; fi la 

 densità (lineare) spettante all'elemento; P il punto potenziato, esterno ad L, 

 che faremo poi avvicinare indefinitamente al punto (arbitrariamente prescelto) 

 0 di L; r la distanza fra P e il generico elemento potenziante. 



Il potenziale newtoniano dell'attrazione, esercitata dalla linea L su P, 

 può manifestamente scindersi in tre (due, nel caso particolare, in cui 0 

 coincide con un estremo di L) addendi, che corrispondono ai tratti X, X* e A 

 (o, rispettivamente, X e A). 



( l ) Una espressione asintotica del potenziale V, valida per una linea materiale di 

 forma qualunque, si trova nella Théorie du potentiel newtonien (Paris, Carré et Naud, 

 1899, pag. 128) del sig. Poincaré. Va notato tuttavia che tale espressione non è atta 

 alla derivazione, essendo ricavata in base alla sola condizione che resti finita la diffe- 

 renza fra essa e V. Non si può quindi pretendere che rimangano finite anche le derivate. 

 Il confronto colla nostra V (a) mostra anzi che ciò in generale non accade. 



