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4. Nozione di ordine. — Sia N un polinomio omogeneo in x,y,z,s, 

 a coefficienti costanti, od anche funzioni essi stessi dei quattro argomenti, 

 da ritenersi rinite per tutti i valori di s appartenenti all'arco X e per un 

 certo campo (x,y,z), cui supponiamo appartenga l'origine 0. 



Sia h il grado di N, k un altro intero qualsiasi, e si consideri una 

 frazione del tipo 



N_ 

 J K ' 



La differenza h — k — n sarà detta ordine della funzione. 

 Ove si osservi che i rapporti 



— = — cos# , ^ = - s 4én^ CÓS9 , ^ = ^sen>seng> , ^ 



rimangono finiti [in virtù delle (12) e (10)] anche per s = s = 0, si rico- 

 nosce ovviamente che ogni funzione d'ordine > 0 si conserva finita anche 

 p er % == y ==S: = Z : S = Q. Per un qualsiasi altro sistema di valori del campo 

 considerato la cosa è di per sè evidente, data la natura di N e di J, e il 

 fatto che J si annulla soltanto per e = s — 0. 



È importante notare che la derivata (rapporto ad x ,y ,z) di una ge- 

 nerica frazione d'ordine n può essere posta sotto la forma di una fra- 

 zione d'ordine n — 1, purché, beninteso, si supponga che i coefficienti del 

 polinomio N sieno dotati di derivate finite rapporto ad x,y ,z. 



N 



Immaginiamo infatti di derivare rapporto ad x per es. 



Quando si deriva il numeratore N, c'è da tener conto che x vi compare 

 come argomento del polinomio, nonché (eventualmente) pel tramite dei coef- 

 ficienti. 



Risulteranno perciò due termini, di cui il primo è un polinomio omo- 

 geneo di grado h — 1, mentre l'altro rimane un polinomio omogeneo di 

 grado h, l'uno e l'altro a coefficienti in generale variabili (funzioni finite 

 di x , y , z , s). Ora si può, in molti modi, risguardare anche il secondo po- 

 linomio come omogeneo digrado h — 1, anziché h, bastando all'uopo stac- 

 care uno degli h fattori x,y ,z,s di ciascun termine e attribuirlo al rela- 

 tivo coefficiente. 



La derivazione del numeratore dà in definitiva 



Ni 



dove Ni è un polinomio (come già N, a coefficienti in generale variabili) 

 di grado h — 1. 



