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numero finito di punti angolosi, nei quali può subire brusche variazioni 

 qualcuno di questi elementi: direzione della tangente, curvatura, densità. 



Ciò posto, tanto se 0 è un punto ordinario, quanto se è un punto an- 

 goloso (purché soltanto non sia un estremo di L), si potranno certamente 

 staccare da una parte e dall'altra di esso due archi X e X*, dotati entrambi 

 delle proprietà specificate al n. 2, e abbastanza brevi, perchè sia valida la 

 disuguaglianza, di cui è parola in principio del n. 5. 



Ne viene che i due addendi Y x e V x * della formula (4) posseggono 

 ciascuno una espressione asintotica, a norma della (20). 



11 terzo addendo V A rimane regolare nell' intorno di 0, perchè proviene 

 da elementi situati a distanza finita da 0. L'espressione asintotica V (Q) di V 

 si riduce dunque a V£" -f V$ . 



Qualora 0 sia un estremo, viene a mancare il tratto X* e rimane 

 y(o) __ y(o) _ 



Esplicitiamo V (a \ distinguendo all' uopo tre casi : 

 a) 0 è un punto ordinario di L . 



11 triedro principale Oxyz, relativo all'arco X, differisce dall'analogo 

 triedro relativo all'arco X* soltanto per il fatto che sono diretti per verso 

 opposto i due assi delle x, e anche quelli delle s, se i due triedri si ri- 

 tengono congruenti (entrambi sinistrorsi per es.). 



Affinchè le coordinate x,y,s di P, le quali appariscono nelle due 

 espressioni di V^ a) e di Y$ , siano riportate al medesimo sistema coordi- 

 nato, basterà, in una delle due, in quella di V$ per es., scambiare x e s 

 in — x e — z . 



D'altra parte, trattandosi di un punto ordinario, le due costanti c e jt 0 

 sono le stesse tanto per V^> quanto per V$ , mentre (essendo opposte le 

 direzioni dei due archi X e X*) il fi' 0 , relativo a V$ , presenta un cambia- 

 mento di segno rispetto all'elemento analogo, relativo a V£° . Ne risulta 



(23) — i«o log (e 2 — X*) — 2 )\ C % + fl[w[ log £ , 



d ove — riassumo, per comodo di consultazione, il significato delle lettere — 



le coordinate x , y , « sì riferiscono al triedro principale della linea L 

 nel punto 0, coll'asse x diretto secondo la tangente (in un senso arbitrario) 

 e l'asse y secondo la normale principale (verso la concavità di L) ; c è la 

 curvatura nel punto 0 ; fi 0 il valore della densità in questo punto ; fi' 0 il 

 valore della derivata di fu (rapporto all'arco, nel senso assunto come posi- 

 tivo sulla tangente) ; infine s = ]/x 2 + if + z % è la distanza del punto 

 potenziato P da 0. 



b) 0 è un estremo di L. 



Manca l'addendo V$ e si ha per V (a) l'espressione (20). 



c) 0 è un punto angoloso. 



