— 107 — 



subito ridursi, come ha dimostrato questo Autore ('), ad una sola equazione 

 integrale lineare, la cui risoluzione ci darà appunto le funzioni xpì{x) che 

 soddisfanno alle (1) e che in ^ = 0 prendono i valori assegnati fi(0). 



Segue pure di qui che la integrazione della equazione alle derivate 

 parziali del primo ordine 



ove al solito le a i>h , bi non contengono che la variabile x , dipende dalla 

 risoluzione di un'equazione integrale lineare. 



In particolare dunque dipenderà dalla risoluzione di una equazione in- 

 tegrale lineare, la integrazione della equazione ordinaria di ordine n 



d n y , d^y . '", dy . 



infatti l'integrale generale della (3) è una funzione y = ip a (x) che soddisfa 

 alla (3) e tale che la if) a (x) e le sue n — 1 prime derivate, che denoteremo 

 con ìpi(x) , ' - j in cm ' un P unto qualunque x = 0 prendono 



dei valori prestabiliti t// 0 (0) , ^i(O) , ... , Vn-i(O). Ora il sistema (2) diviene qui 



tpi{x) — Wi + i(t) dt = Vì(0) (e = 0 , 1 , ... , n — 2) 



tpn-^x) + fW) ^«-«(O <*H h 



+ rpn-l(t)Vl(t)dt-\- rpn(t)xp 0 (t)dt = f(x) 

 Jo Jo 



ove 



(4) f{x) = pr(0 <tó + ^n-i(O) . 



Perciò se definiamo la funzione J?(x,t) colle condizioni seguenti 



. (r=l,2,...,rc — 1 ì 

 1°) se r>^>r-l, S >^>s-l ( s = x , 2 , ... , r , r + 2 , ... , % - 1< 



2°) se r > x > r — 1 , r + 1 > t > r (r = 1 , 2 , ... n — 1) 



j — 1 se x -f*' 1' = ■ £ 



^,0 — | Q se ^+l<^ 



3°) se »>> ^3> A—' 1 Y^> t > r — Ì (r = 1,2,...») 



1 ' J — ( 0 se ar — w-f- r<£ 



(!) Fredholm, Swr une classe d'equations fonctionnelles. Acta Mathematica, t. 27 

 (1903), pp. 378, 379. 



Rendiconti. 1908, Voi. XVII, 2° Sem. 14 



