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e l'altra funzione Z(x) colle condizioni 



Z(#) = Vr-i(0) se r>A;>r — 1 (: 

 Z(x) = f(x — se »>#>w — 1, 



(r = l ,2,...,» — 1) 



+ X (— l) r I ■ • • I «r,) F(^j , x 2 ) . . » F(^ r _! , x r ) $(x r , £) dxi , ... , ota?, 



avremo per le forinole di Fredholm che l'integrale generale della (3) sarà 



quando per la funzione J(x , t) che compare sotto il segno integrale del 

 secondo membro si prenda l'espressione che corrisponde ad l>>«r>>0. 



3. Il prof. Burgatti ( l ) estende il problema della inversione degli inte- 

 grali definiti proponendosi la determinazione della funzione f(x) che sod- 

 disfa alla equazione 



(5) <p(x) = ) y 0 (x , t) /<"'(/) + xp^x , t) f^{t) + ■ • • + ip n (x , t) f{t)\ dt : 



egli però non considera che i casi n== 0 ed n = 1 , tfj 0 (x , t) = 1 ed in 

 ambedue questi casi la (5) si riduce, come osserva il sig. Lalesco ad una 

 equazione di Volterra. A proposito della (5) il sig. Lalesco in un suo re- 

 cente lavoro C 2 ) dimostra che se ip 0 (x,x) non è identicamente nulla esisterà 

 sempre una ed una sola funzione che soddisfa alla (5) e che in x = 0 

 prende assieme alle sue n — 1 prime derivate dei valori qualsiasi presta- 

 biliti. Però egli nella sua dimostrazione deve supporre che le funzioni 

 ip r {x ,t) (r— 0 , 1 , ... n) abbiano le derivate parziali rispetto a t dei primi 

 n — r ordini. Ora si può giungere, in modo analogo a quello tenuto nel 

 paragrafo precedente, allo stesso risultato, ammettendo solamente la esistenza 

 della derivata prima di ip 0 (x , t) rispetto a t . Infatti con una integrazione 

 per parti la (5) diviene 



0 



(f(x) + ip 0 (x , 0) / (M - l) (0) = f 0 (x , x) f^{x) + 



(5') 



(*) Burgatti, Sulla inversione degli integrali definiti. Kend. Acc. Lincei (5), voi. 12 

 (1903). 



( s ) Lalesco, Sur Véquation de Volterra. Journal de Liouville (6), t. 4 (1908). 



