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ora supponendo %{x , x) #3 0 alla (5') potremo sostituire il sistema 

 f{x)- f>»(0 dt = f{0) 



f w {x) — fV 2) (0 di = f a \0) 



f«-*\x) — j /• (M - 1> (0 dt = /" ( "- 2) (0) 

 ' v ' 1 ip 0 (xx)J Q (L ^ -1 



J , «y(-g) 4- Vote i Q) r""°(Q) 



+ , o r- 25 (o + • • • + m m j = - \\ X , X ) 



Perciò, se y/ 0 (# , #) + 0, potremo determinare la /"(#) che soddisfa alla 

 (5) ed in modo che essa e le sue prime n — 1 derivate assumano in x = 0 

 i valori f{0) , r\0) , ... , f**>%ty prestabiliti. 



È bene però notare che supponendosi le funzioni xpi(x , t) finite ed in- 

 tegrabili per la risolubilità della (5) dovrà aversi SP (0) = 0: altrimenti 

 potrà risolversi soltanto la equazione che si deduce dalla (5) sostituendo 

 alla funzione (p(x) del suo primo membro l'altra <p(x) — y(0). 



Quando poi xp 0 (x,x) è identicamente nulla potranno darsi due casi: 

 1°) anche la tf/ 0 {a , 0) = 0 ed allora la (5) può trasformarsi in una 

 altra equazione della stessa forma, in cui però sotto il segno integrale non 

 vi è al più che la derivata n — l della funzione incognita f(x). 



2°) ip 0 {x , x) = 0 ma ip a {x , 0) ^ 0 per x 4 0 : ed allora potrà di- 

 minuire il numero delle condizioni che si possono imporre alla funzione in- 

 cognita. Senza volerci fermare su tale discussione, notiamo che per n = 1 

 la (5) individuerà in tale caso in generale una ed una sola funzione f(x): 

 ma solo in generale perchè essa potrà in qualche caso essere insolubile 

 quando non si assoggetti la y(x) che alla condizione y(0) = 0. Ciò avviene 

 appunto per l'equazione 



(a) \\x-t)\fXt) + f{l)\dt = <p{x), 



che è insolubile se tp'fQ) 4 0. Invece se g>(0) = y'(0) = 0 esisterà sempre 

 una funzione che soddisfa alla (a) e prende un valore assegnato /(0) in x = 0. 



4. I risultati precedenti possono applicarsi al caso della equazione li- 

 neare del secondo ordine 



d-y , dy , 

 (6) if+l>d x + i> = r 



ove al solito le funzioni p(x) , q(x) , r(x) si suppongono finite ed integrabili, 



