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Le condizioni necessarie e sufficienti perchè ciò abbia luogo sono state 

 da me poste sotto una nuova forma, che ben si presta al caso nostro, nella 

 prima delle Note dianzi citate. Conviene anzitutto che richiamiamo breve- 

 mente le considerazioni svolte in detta Nota. 



Perchè le (2) contengano soltanto r parametri essenziali, è necessario, 

 come si sa, che le x\ date dalle (1), quali funzioni dei parametri, soddisfino 

 ad equazioni della forma: 



In cui il determinante delle ipph{a) non sia identicamente nullo, e le ^n(x') 

 non soddisfino a nessun sistema di equazioni della forma: 



P f> p £ ph (#') = 0 (h = l,2,...,n) 



P =i 



coi coefficienti g p indipendenti dalle x' e non tutti nulli. Inoltre la (2) potrà 

 scriversi : 



x'l = gì{x,c) (i— 1 , 2 , ... , n) , 



ove le c sono funzioni delle a e delle b: 



(4) CK = 6 h (a, b) (k=l ,2, ... ,r); 



e le (4) possono risolversi sia rispetto alle a, sia rispetto alle b. Se ne 

 deduce che è possibile, dato un sistema di valori a (0) dei parametri, soddi- 

 sfare alle equazioni: 



0 k (a , b) = 0*(a <o) , a w ) (k == 1 , 2 , ... , r) 



sia assegnando le a e calcolando le b, sia inversamente assegnando le b e 

 calcolando le a; ovvero, ciò che è lo stesso, indicando con Sa la trasfor- 

 mazione rappresentata dalle (1), che si può soddisfare all'equazione simbolica: 



(5) S fl S 0 = S l(o) 



sia assegnando la Sa e calcolando la Sb , sia assegnando la Sb e calcolando 

 la S fl . 



La (5) può anche scriversi: 



S a(o) S a — S a<°> 8 b 



Ponendo : 



(6) SÌS fl = E 



