— 161 — 



si ha allora: 



S a<°>V =E « 



donde : 



(7) S ó = ] C S «(o>- 



Se le a (0) sono scelte in modo che per esse non si annulli il determi- 

 nante delle ip P k(a), le (6) costituiscono, in base al primo teorema fondamen- 

 tale di Lie, un gruppo, al quale appartiene la trasformazione E« , sicché 

 posto : 



si ottiene, per la (7) 



E 1 = E , 



a a 



8 b T= \' S a<0) 



Questa relazione e la (6) ci dicono che l'insieme dato di trasformazioni 

 coincide con ciascuno dei due insiemi: 



(8) S fl (o) \ , E fl S fl(0) • 



Se con a ed a indichiamo i parametri che in questi due insiemi rispet- 

 tivamente determinano una medesima trasformazione, potremo scrivere: 



ossia : 



S fl (o) E a ==E a S flW 



E a = S «W E J S fl(°) 



donde in ultimo, per la (6) 



(9) S « = S a(°) S « S «<°) ' 



Perchè la trasformazione composta con due qualsivogliano delle (1) con- 

 tenga soltanto r parametri essenziali è dunque anche necessario che l'insieme 

 dato venga, per mezzo di una sua trasformazione, corrispondente a valori 

 dei parametri, che non annullano il determinante delle ippn(a), trasformato 

 in se stesso. 



Questa condizione e l'altra sopra detta che le x\ date dalle (1), come 

 funzioni dei parametri, soddisfacciano ad equazioni della forma delle (3), colle 

 indicate proprietà per le ì ?h {x) e per le ippn(à), sono anche sufficienti al 

 nostro scopo. Se partiamo infatti dalla (9) e risaliamo, otteniamo che all'in- 

 sieme dato competono le due rappresentazioni, simbolicamente indicate me- 

 diante le (8), e però la trasformazione composta con due qualsivogliano di 

 esso : 



S fl =S a(0) E a , S, = E^S a(0) 

 Rendiconti. 1908, Voi. XVII, 2° Sem. 21 



